专题7拓展培优6 导数中的必要性探路与端点效应（Word讲义）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

拓展培优6　导数中的必要性探路与端点效应 类型一　必要性探路 已知函数f(x)＝ln x－ax. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设g(x)＝ex－1＋xf(x)，若g(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a. (1)当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时，令f′(x)＝0得到x＝， 当0<x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 综上：当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)g(x)＝ex－1＋xln x－ax2， 令x＝1，则g(1)＝1－a≥0，故a≤1， 以下证明：a≤1时符合题意， 当a≤1时，g(x)＝ex－1＋xln x－ax2≥ex－1＋xln x－x2， 以下证明：ex－1＋xln x－x2≥0， 构造函数G(x)＝＋ln x－x， 则G′(x)＝＋－1 ＝＝， 令H(x)＝ex－1－x， 则H′(x)＝ex－1－1， 由H′(x)>0可得x>1， 由H′(x)<0可得0<x<1， 于是H(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是H(x)≥H(1)＝0. 于是当0<x<1时，G′(x)<0，当x>1时，G′(x)>0， 所以G(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故G(x)≥G(1)＝0，符合题意． 综上可知a≤1. 感悟提升 函数不等式恒成立问题是高考考查的热点、难点，常用分离参数、分类讨论的方法解决，部分试题也可以尝试利用必要条件探路的思想方法解决：即通过取自变量的一个特殊值使不等式恒成立，得到参数的取值范围，随后验证其充分性． 基本步骤： 1．探究必要条件，缩小参数范围：在给定的范围内取特殊值，然后由不等式成立求出参数的取值范围，该取值范围即为不等式恒成立的一个必要条件，接下来探究其充分性. 选择的特殊值可以为端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数(如0，1，e，e2等)． 2．证明充分性，求结果：利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调． (1)如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案； (2)如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值． 【提醒】　这种必要性探路法所求的参数范围不一定是所求的实际范围，但是可以先定问题成立的大前提，缩小参数的讨论范围，一定程度上降低了思维成本．　　 针对练1.已知函数f(x)＝axln x，g(x)＝x3－(2－a)x2. (1)若a＝1，证明：对任意x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]，使得f(x1)＝g(x2)； (2)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围． 解析：(1)证明：当a＝1，函数f(x)＝xln x，x∈[1，e]， f′(x)＝1＋ln x>0，则函数f(x)在[1，e]上单调递增， 所以f(1)≤f(x)≤f(e)，即0≤f(x)≤e， 所以f(x)的值域为[0，e]． 又g(x)＝x3－x2，g′(x)＝3x2－2x＝x(3x－2)>0，则函数g(x)在[1，e]上单调递增， 所以g(1)≤g(x)≤g(e)，即0≤g(x)≤e3－e2， 所以g(x)的值域为[0，e3－e2]． 因为e3－e2＝e(e2－e)>e， 所以[0，e]⊆[0，e3－e2]， 所以对任意x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]，使得f(x1)＝g(x2)． (2)法一：由f(x)≤g(x)，得axln x≤x3－(2－a)x2， 因为x>0，所以aln x≤x2－(2－a)x，整理得a(ln x－x)≤x2－2x. 令G(x)＝ln x－x，x∈(0，＋∞)，则G′(x)＝－1＝， 在(0，1)上，G′(x)>0；在(1，＋∞)上，G′(x)<0， 所以G(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以G(x)max＝G(1)＝－1<0，故a≥. 令h(x)＝，x∈(0，＋∞)， 则h′(x)＝＝. 令k(x)＝2ln x－x－2，x∈(0，＋∞)，则k′(x)＝－1＝， 在(0，2)上，k′(x)>0，在(2，＋∞)上，k′(x)<0， 所以k(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 所以k(x)max＝k(2)＝2ln 2－4＝2(ln 2－2)<0， 所以在(0，1)上，h′(x)>0，在(1，＋∞)上，h′(x)<0， 所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以h(x)max＝h(1)＝＝1，所以a≥1， 即实数a的取值范围为[1，＋∞)． 法二：由f(x)≤g(x)得axln x≤x3－(2－a)x2， 设h(x)＝axln