专题7.4 函数与导数中的综合问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

第四讲　函数与导数中的综合问题 1．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． (2)是否存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由． (3)若f(x)在(0，＋∞)上存在极值，求a的取值范围． 解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝ln(x＋1)(x>－1)， 则f′(x)＝－×ln(x＋1)＋×， 据此可得f(1)＝0，f′(1)＝－ln 2， 所以函数在(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－ln 2(x－1)，即(ln 2)x＋y－ln 2＝0. (2)由函数的解析式可得f＝(x＋a)ln， 函数的定义域满足＋1＝>0，即函数的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)， 定义域关于直线x＝－对称， 由题意可得b＝－， 由对称性可知f＝f， 取m＝可得f(1)＝f(－2)， 即(a＋1)ln 2＝(a－2)ln，则a＋1＝2－a，解得a＝， 经检验a＝，b＝－满足题意， 即存在a＝，b＝－满足题意． (3)f′(x)＝＝， 设h(x)＝－ln(x＋1)＋，x∈(0，＋∞)， 则h′(x)＝. ①当a≥时，h′(x)>0，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增， 注意到h(0)＝0，所以h(x)>0，即f′(x)>0， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值点； ②当a≤0时，h′(x)<0，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 注意到h(0)＝0，所以h(x)<0，即f′(x)<0， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无极值点； ③当0<a<时，容易求得h(x)在上单调递减，在上单调递增， 注意到h(0)＝0，当x→＋∞，h(x)→＋∞， 所以在x∈上存在x0，使得h(x0)＝0. 当x∈(0，x0)时，h(x)<0，函数f(x)单调递减， 当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，函数f(x)单调递增． 所以函数f(x)在(0，＋∞)内有极值点x0. 综上可知，a的取值范围为. 2．(2022·新高考Ⅱ卷) 已知函数f(x)＝xeax－ex. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x>0时，f(x)<－1，求a的取值范围； (3)设n∈N*，证明：＋＋…＋ >ln(n＋1)． 解析：(1)当a＝1时，f(x)＝xex－ex，则f′(x)＝xex， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． (2)当x>0时，f(x)<－1，即xeax－ex<－1在(0，＋∞)上恒成立， 令F(x)＝xeax－ex＋1(x>0)， 则F(x)<0在(0，＋∞)上恒成立． 易得F(0)＝0，F′(x)＝eax＋axeax－ex，F′(0)＝0， F″(x)＝aeax＋aeax＋a2xeax－ex，F″(0)＝2a－1. 若F″(0)>0，则F′(x)必定存在一个单调递增区间(0，x0)， 又F′(0)＝0，所以F(x)也必定存在一个单调递增区间(0，x′0)． 于是F(x)>F(0)＝0在(0，x′0)上恒成立，与F(x)<0矛盾， 所以F″(0)≤0，所以a≤. 因为eax≤e在(0，＋∞)上成立，所以F(x)≤xe－ex＋1在(0，＋∞)上成立， 故只需证xe －ex＋1<0在(0，＋∞)上恒成立． 令G(x)＝xe －ex＋1(x>0)， 则G′(x)＝e ＋e －ex＝e . 因为ex>x＋1在(0，＋∞)上恒成立，所以e >＋1在(0，＋∞)上恒成立． 所以G′(x)<0，故G(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以G(x)<G(0)＝0， 所以xe －ex＋1<0在(0，＋∞)上恒成立． 故当a≤时，xeax－ex<－1在(0，＋∞)上恒成立． 所以a的取值范围为. (3)证明：构造函数h(x)＝x－－2ln x(x>1)， 则h′(x)＝1＋－＝＝， 易知h′(x)>0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(x)>h(1)＝0，所以x－>2ln x， 令x＝ ， 则有 －>2ln ， 所以>ln ， 所以＋＋…＋>ln ＋ln ＋…＋ln ＝ln(n＋1)． 原式得证． 3．(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围． 解析：(1)f(x)的定义域为(－1，＋∞)． 当a＝1时，f(x)＝ln(1＋x)＋，f(0)＝0，所以切点为(0，0)． f′(x)＝＋，f′(0)＝2，所以切线斜率为2， 所以曲线y＝f(x)在点