专题7.3 利用导数研究函数的性质（Word讲义）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

第三讲　利用导数研究函数的性质 1．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间上单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2 B．e C．e－1 D．e－2 答案：C 解析：依题可知，f′(x)＝aex－≥0在上恒成立，显然a>0，所以xex≥，设g(x)＝xex，x∈，所以g′(x)＝ex>0，所以g(x)在上单调递增，g(x)>g＝e，故e≥，即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1.故选C. 2．(2022·全国甲卷) 当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C. D．1 答案：B 解析：因为函数f(x)定义域为(0，＋∞)，所以依题可知，f(1)＝－2，f′(1)＝0，而f′(x)＝－，所以b＝－2，a－b＝0，即a＝－2，b＝－2，所以f′(x)＝－＋，因此函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x＝1时取最大值，满足题意，即有f′(2)＝－1＋＝－.故选B. 3．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　) A．a<b B．a>b C．ab<a2 D．ab>a2 答案：D 解析：法一(特殊值法)：当a＝1，b＝2时，函数f(x)＝(x－1)2(x－2)，画出该函数的图象如图①所示，可知x＝1为函数f(x)的极大值点，满足题意．从而，根据a＝1，b＝2可判断选项B，C错误；当a＝－1，b＝－2时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)，画出该函数的图象如图②所示，可知x＝－1为函数f(x)的极大值点，满足题意．从而，根据a＝－1，b＝－2可判断选项A错误．故选D. 法二(数形结合法)：当a>0时，根据题意作出函数f(x)的大致图象，如图③所示，观察可知b>a. 当a<0时，根据题意作出函数f(x)的大致图象， 如图④所示，观察可知a>b. 综上，可知必有ab>a2成立．故选D. 4．(2022·全国乙卷)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是________． 答案： 解析：f′(x)＝2ln a·ax－2e x， 因为x1，x2分别是函数f(x)＝2ax－e x2的极小值点和极大值点， 所以函数f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增， 所以当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)<0，当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0， 若a>1时，当x<0时，2ln a·ax>0，2ex<0， 则此时f′(x)>0，与前面矛盾，故a>1不符合题意， 若0<a<1时，则方程2ln a·ax－2ex＝0的两个根为x1，x2， 即方程ln a·ax＝ex的两个根为x1，x2， 即函数y＝ln a·ax与函数y＝ex的图象有两个不同的交点， 令g(x)＝ln a·ax，则g′(x)＝ln2 a·ax，0<a<1， 设过原点且与函数y＝g(x)的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为g′(x0)＝ln2 a·ax0，故切线方程为y－ln a·ax0＝ln2 a·ax0(x－x0)， 则有－ln a·ax0＝－x0ln2a·ax0，解得x0＝， 则切线的斜率为ln2 a·a＝eln2 a， 因为函数y＝ln a·ax与函数y＝ex的图象有两个不同的交点， 所以eln2 a<e，解得<a<e， 又0<a<1，所以<a<1， 综上所述，a的取值范围为. 5．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln. (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点处的切线方程； (2)若函数f(x)在单调递增，求a的取值范围． 解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝ln(x＋1)(x>－1)， 则f′(x)＝－×ln＋×， 据此可得f＝0，f′＝－ln 2， 所以函数在处的切线方程为y－0＝－ln 2(x－1)，即x＋y－ln 2＝0. (2)由函数的解析式可得f′(x)＝ln(x＋1)＋×， 满足题意时f′(x)≥0在区间上恒成立． 令ln＋≥0， 则－(x＋1)ln(x＋1)＋≥0， 令g(x)＝ax2＋x－ln， 原问题等价于g(x)≥0在区间上恒成立， 则g′(x)＝2ax－ln， 当a≤0时，由于2ax≤0，ln>0，故g′(x)<0，g(x)在区间上单调递减， 此时g(x)<g＝0，不合题意； 令h(x)＝g′(x)＝2ax－ln，则h′(x)＝2a－， 当a≥，2a≥1时，由于<1， 所以h′(x)>0，h(x)在区间上单调递增， 即g′(x)在区间上单调递增， 所以g′(x)>g′＝0，g(x)在区间上单调递增，g(x)>g＝0，满足题意． 当0<a