专题7.2 基本初等函数、函数与方程（Word讲义）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

第二讲　基本初等函数、函数与方程 1．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　 ) A．25 B．5 C. D. 答案：C 解析：因为2a＝5，b＝log83＝log23，即23b＝3， 所以4a－3b＝＝＝＝.故选C. 2．(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x在区间单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B. C. D. 答案：D 解析：函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x在区间上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝2－在区间上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是.故选D. 3．(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　 ) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 答案：A 解析：由题意可知a，b，c∈(0，1)，＝＝·<·2＝2＝2<1，所以a<b；由b＝log85，得8b＝5，由55<84，得85b<84，所以5b<4，可得b<；由c＝log138，得13c＝8，由134<85，得134<135c，所以5c>4，可得c>.综上所述，a<b<c.故选A. 4. (2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f，b＝f，c＝f，则(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 答案：A 解析：令g(x)＝－(x－1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x＝1，因为－1－＝－，而(＋)2－42＝9＋6－16＝6－7>0，所以－1－＝－>0，即－1>1－，由二次函数性质知g<g，因为－1－＝－，而(＋)2－42＝8＋4－16＝4－8＝4(－2)<0，即－1<1－，所以g>g.综上，g<g<g，又y＝ex为增函数，故a<c<b，即b>c>a.故选A. 5．(2020·全国Ⅲ卷)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　 ) A．60 B．63 C．66 D．69 答案：C 解析：因为I(t)＝，所以I(t*)＝＝0.95K，则e0.23(t上上上*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，解得t*≈＋53≈66.故选C. 考情分析 1．基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型． 2．函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现．　　 学生用书↓第115页 考点一　基本初等函数的图象与性质 1．(2023·山东枣庄3月模拟)指数函数y＝ax的图象如图所示，则y＝ax2＋x图象顶点横坐标的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由图可知，a∈，而y＝ax2＋x＝a2－，顶点横坐标为x＝－， 所以－∈.故选A. 2．(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 答案：D 解析：由y＝1.01x在R上递增，则a＝1.010.5<b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上递增，则a＝1.010.5>c＝0.60.5.所以b>a>c.故选D. 3．(2023·辽宁葫芦岛二模)若ex＋πy>e－y＋π－x，则(　　) A．ln(y＋x＋e)>1 B．ln(y＋x＋e)<1 C．logπ>0 D．logπ<0 答案：A 解析：不等式ex＋πy>e－y＋π－x⇔ex－π－x>e－y－π－(－y)，令函数f(x)＝ex－π－x，x∈R，因为函数y＝ex，y＝－π－x在R上都是增函数，因此函数f(x)是R上的增函数，又ex＋πy>e－y＋π－x⇔f(x)>f(－y)，于是x>－y，即x＋y>0，则x＋y＋e>e，从而ln(x＋y＋e)>ln e＝1，A正确，B错误；给定条件不能比较x＋y与1的大小，当x＋y＝1时，logπ＝0，CD错误．故选A. 4.(2023·山东青岛三模)已知实数a，b满足a＞b＞0，ln aln b＝1，则下列结论错误的是(　　) A．ab>e2 B．loga2<logb2 C.< D．aabb>abba 答案：A 解析：对于选项A，因为ln aln b<＝，即>1，解得ln ab>2或ln ab<－2，所以ab>e2或0<ab<，故A错误；对于选项B，loga2－logb2＝－＝＝ln 2，因为a＞b＞0，则ln a>ln b，即ln b