专题6拓展培优4 解析几何中优化运算的常见技法（Word讲义）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

拓展培优4　解析几何中优化运算的常见技法 技法一　回归定义，以逸待劳 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　 ) A． B． C． D． 答案：D 解析：由已知，得F1(－，0)，F2(，0)，设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得解得a2＝2，故a＝.所以双曲线C2的离心率e＝＝.故选D. 感悟提升 当题目条件涉及圆锥曲线的焦点时，要考虑利用圆锥曲线的定义表示直线与圆锥曲线相交所得的弦长．　　 针对练1.如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　 ) A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意可得＝＝＝＝.故选A. 针对练2.(2023·山东菏泽二模)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左右焦点，O为坐标原点，过左焦点F1作直线F1P与圆x2＋y2＝a2切于点E，与双曲线右支交于点P，且△OF1P为等腰三角形，则双曲线的离心率为(　　) A． B．2 C． D． 答案：A 解析：因为直线F1P与圆x2＋y2＝a2切于点E，则OE⊥F1P，又△OF1P为等腰三角形，所以|OP|＝|OF1|，所以E为F1P的中点，所以OE∥PF2.所以PF1⊥PF2，|PF2|＝2|OE|＝2a，由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，在直角△PF1F2中，|F1F2|＝2c，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，c2＝5a2，所以e＝.故选A. 技法二　设而不求，金蝉脱壳 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为(　　 ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：D 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，①－②得＋＝0，所以kAB＝＝－＝. 又kAB＝＝，所以＝.又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的方程为＋＝1.故选D. 感悟提升 1．本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题． 2．在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到： (1)凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”． (2)“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．　　 针对练3.已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 答案：A 解析：设OE的中点为G，由题意设直线l的方程为y＝k(x＋a)，分别令x＝－c与x＝0得|FM|＝k(a－c)，|OE|＝ka，由△OBG∽△FBM，得＝，即＝，整理得＝，所以椭圆C的离心率e＝.故选A. 技法三　巧设参数，变换主元 设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别 学生用书↓第109页 为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．若|AP|＝|OA|，证明：直线OP的斜率k满足|k|＞. 证明：法一：依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)． 由条件得消去y0并整理，得x＝.① 由|AP|＝|OA|，A(－a，0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2， 整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0. 而x0≠0，于是x0＝， 代入①，整理得(1＋k2)2＝4k22＋4. 又a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4， 即k2＋1＞4，因此k2＞3，所以|k|＞. 法二：依题意，直线OP的方程为y＝kx， 设点P的坐标为(x0，kx0)． 由点P在椭圆上，得＋＝1. 因为a＞b＞0，kx0≠0，所以＋＜1， 即(1＋k2)x＜a2.② 由|AP|＝|OA|及A(－a，0)，得(x0＋a)2＋k2x＝a2， 整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，而x0≠0，于是x0＝， 代入②，得(1＋k2)·＜a2， 解得k2＞3，所以|k|＞. 法三：设P(acos θ，bsin θ)(0≤θ＜2π)， 则线段OP的中点Q的坐标为. |AP|＝|OA|⇔AQ⊥OP⇔kAQ×kOP＝－1. 又A(－a，0)，所以kAQ＝， 即bsin θ－akAQco