专题6.3 圆锥曲线中的综合问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

第三讲　圆锥曲线中的综合问题 1．(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4. (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值． 解析：(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 由可得，y2－4py＋2p＝0， 所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p， 所以|AB|＝＝|yA－yB|＝× ＝4， 即2p2－p－6＝0，因为p>0，解得p＝2. (2)因为F(1，0)，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由可得，y2－4my－4n＝0， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0， 因为·＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0， 即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0， 亦即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得， 4m2＝n2－6n＋1，因为4(m2＋n)＝(n－1)2>0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2或n≤3－2. 设点F到直线MN的距离为d，所以d＝， |MN|＝＝|y1－y2|＝ ＝＝2|n－1|， 所以△MFN的面积S＝×d×|MN|＝××2|n－1|＝(n－1)2， 而n≥3＋2或n≤3－2， 所以当n＝3－2时，△MFN的面积Smin＝(2－2)2＝12－8. 2．(2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2，0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． 解析：(1)由题意可得解得 所以椭圆方程为＋＝1. (2)证明：由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立方程 消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0， 则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，解得k<0， 可得x1＋x2＝－，x1x2＝， 因为A(－2，0)，则直线AP：y＝(x＋2)， 令x＝0，解得y＝，即M， 同理可得N， 则＝＋＝ ＝ ＝＝＝3， 所以线段MN的中点是定点(0，3)． 考情分析 主要利用直线与圆锥曲线的位置关系考查最值、范围、定点、定值问题，难度较大，多为压轴题．着重考查学生数学直观、数学建模、逻辑推理及数学运算等核心素养．　　 学生用书↓第99页 一　圆锥曲线中的范围、最值问题 角度一　距离与面积的最值(范围)问题 (2023·山东菏泽一模)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，△F1AF2的面积最大值为. (1)求椭圆C的方程； (2)若B，D分别为椭圆C的上、下顶点，不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于P，Q(P在上方，Q在下方，且均不与B，D点重合)两点，直线PB，QD的斜率分别为k1，k2，且k2＝－3k1，求△PBQ面积的最大值． 解析：(1)S△F1AF2＝×2×b＝，所以b＝1， a＝＝2， 故椭圆的方程为＋y2＝1. (2)依题意设直线PQ的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立方程组消元得：x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 所以x1＋x2＝－ , x1x2＝ ， Δ＝64k2m2－4＝16(1＋4k2－m2)>0， 由k2＝－3k1得＝－3·， 两边同除x1，得＝－3·＝－3·＝， 即3x1x2－4＝0； 将y1＝kx1＋m, y2＝kx2＋m代入上式得： 3x1x2－4＝3x1x2－4(kx1＋m＋1)(kx2＋m＋1) ＝x1x2－4k－4(m＋1)2 ＝－4k－42＝0， 整理得：m2－m－2＝0，所以m＝2或m＝－1(舍)， 所以S△PBQ＝·1· ＝ ＝ ＝ ＝≤， 当k＝±时等号成立，满足条件，所以△PBQ面积的最大值为. 感悟提升 求解范围、最值问题的常见方法 1．利用判别式来构造不等关系． 2．利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系． 3．利用隐含或已知的不等关系建立不等式． 4．利用基本不等式．　　 针对练1.(2023·广东广州二模)已知点F，P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C. (1)求C的方程； (2)过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形MANB的面积最小时，求l的方程． 解析：(1)设P(x，y)，则以PF为直径的圆的圆心为，