专题6.2 圆锥曲线的定义、方程与性质（Word讲义）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

第二讲　圆锥曲线的定义、方程与性质 1．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2＝，则|OP|＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：法一：设∠F1PF2＝2θ，0<θ<，所以S△PF1F2＝b2tan＝b2tan θ，由cos∠F1PF2＝cos 2θ＝＝＝，解得tan θ＝，由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，所以S△PF1F2＝×|F1F2|×|yp|＝×2×|yp|＝6×，解得y＝3，即x＝9×＝，因此|OP|＝＝＝.故选B. 法二：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6　①， |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝12　②，联立①②，解得|PF1||PF2|＝，|PF1|2＋|PF2|2＝21，而＝(＋)， 所以|OP|＝||＝|＋| ＝ ＝＝.故选B. 2．(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A. 3．(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　) A．(1，1) B．(－1，2) C．(1，3) D．(－1，－4) 答案：D 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M，可得kAB＝，kOM＝＝，因为A，B在双曲线上，则两式相减得－＝0，所以kAB·kOM＝＝9，又选项中各点均在双曲线外，所以|kAB|<3，|kOM|>3，结合选项可知，D项符合．故选D. 4．(2023·全国乙卷理)已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________． 答案： 解析：由题意可得()2＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－，点A到C的准线的距离为1－＝. 考情分析 1．圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题． 2．直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查．　　 考点一　圆锥曲线的定义与标准方程 1．(2023·山东烟台一模)过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点且倾斜角为45°的直线与抛物线交于A，B两点，若点A，B到y轴的距离之和为4，则p的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得：直线AB的斜率k＝tan 45°＝1，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F，故直线AB的方程为y＝x＋，联立方程消去y得x2－2px－p2＝0，则Δ＝(－2p)2－4×1×(－p2)＝8p2>0，x1＋x2＝2p，x1x2＝－p2<0，可知x1，x2异号，由题意可得：＋＝＝＝＝2p＝4，解得p＝2.故选B. 2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2＋，则该椭圆方程为(　　 ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：D 解析：设椭圆的半焦距为c，因为点P在以线段F1A为直径的圆上，所以AP⊥PF1.又因为F2B∥AP，所以F2B⊥BF1.又因为|F2B|＝|BF1|，所以△F1F2B是等腰直角三角形，于是△F1AP也是等腰直角三角形， 因为|AP|＝2＋，所以|F1A|＝(2＋)，得a＋c＝(2＋)，又b＝c，所以a＝c，解得a＝2，c＝2，得b2＝a2－c2＝4，所以椭圆方程为＋＝1.故选D. 3．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________． 答案：4 解析：如图，延长F2M交PF1于点Q， 由于PM是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，所以△QPF2是等腰三角形，所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中点．根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，即|QF1|＝2a，由于O是F1F2的中点，所以MO是△QF1F2的中位线，所以|MO|＝|QF1|＝a＝4. 4．(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是