专题6.1 直线与圆（Word讲义）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

专题六　解析几何 学生用书↓第94页 第一讲　直线与圆 1．(2023·全国乙卷)已知实数 x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A．1＋ B．4 C．1＋3 D．7 答案：C 解析：法一：令x－y＝k，则x＝k＋y，代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，因为存在实数y，使上式成立，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，化简得k2－2k－17≤0，解得1－3≤k≤1＋3，故x－y的最大值是1＋3.故选C. 法二：x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈[0，2π]， 则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cos＋1， 因为θ∈[0，2π]，所以θ＋∈，则当θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值1＋3.故选C. 2．(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1 B． C． D． 答案：B 解析：法一：因为x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2，0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，因为|PC|＝＝2，则|PA|＝＝，可得sin∠APC＝＝，cos∠APC＝＝，则sin∠APB＝sin 2∠APC＝2sin∠APCcos∠APC＝2××＝，cos∠APB＝cos 2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝2－2＝－<0，所以sin α＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝.故选B. 法二：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，连接AB(图略)，可得|PC|＝＝2，则|PA|＝|PB|＝＝，因为|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cos∠APB＝|CA|2＋|CB|2－2|CA|·|CB|cos∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB，则3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos(π－∠APB)，即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－<0，即∠APB为钝角，则cos α＝cos(π－∠APB)＝－cos∠APB＝，且α为锐角，所以sin α＝＝.故选B. 3．(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由e＝，则＝＝1＋＝5， 解得＝2，又C的一条渐近线与已知圆相交，且此圆在第一象限，所以这一条渐近线方程为y＝2x， 则圆心(2，3)到渐近线的距离d＝＝， 所以弦长|AB|＝2＝2＝.故选D. 4．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程____________________________． 答案：y＝－x＋或y＝x－或x＝－1 解析：圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为O1(3，4)，半径为4，两圆的圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为kOO1＝，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t>0)，O到l的距离为d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－x＋；当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p>0，k<0，由题意解得y＝x－；当切线为n时，易知切线方程为x＝－1. 5．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值________． 答案：2　(2，－2，，－中任意一个皆可以) 解析：⊙C的圆心C(1，0)，半径为2，设点C到直线 AB 的距离为d，由弦长公式得|AB|＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝，由d＝＝，所以＝或＝，解得m＝±或m＝±2. 6．(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 答案： 解析：A(－2，3)关于y＝a对称的点的坐标为A′(－2，2a－3)，B(0，a)在直线y＝a上，所以A′B所在直线即为对称直线l，所以直线l为y＝x＋a，即(a－3)x＋2y－2a＝0；又因为圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1，所以圆心(－3，－2)，半径r＝1，依题意圆心到直线l的距离为d＝≤1，即(5－5a)2≤(a－3)2＋22，解得≤a≤，即a∈. 考情分析 考查重点是直线间的平行和垂直