专题5.1 坐标系与参数方程（Word讲义）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

专题五　选修系列 学生用书↓第87页 第一讲　坐标系与参数方程 1．(2023·全国甲卷)已知点P(2，1)，直线l：(t为参数)，α为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A，B，且|PA|·|PB|＝4. (1)求α； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程． 解析：(1)因为l与x轴，y轴正半轴交于A，B两点，所以<α<π， 令x＝0则t1＝－，令y＝0，则t2＝－， 所以|PA|·|PB|＝|t2t1|＝＝＝4，所以sin 2α＝±1， 即2α＝＋kπ，解得α＝＋kπ，k∈Z， 因为<α<π，所以α＝. (2)由(1)可知，直线l的斜率为tan α＝－1， 且过点(2，1)， 所以直线l的普通方程为：y－1＝－(x－2)， 即x＋y－3＝0， 由x＝ρcos α，y＝ρsin α可得直线l的极坐标方程为ρcos α＋ρsin α－3＝0. 2．(2023·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sin θ，曲线C2：(α为参数，<α<π)． (1)写出C1的直角坐标方程； (2)若直线y＝x＋m既与C1没有公共点，也与C2没有公共点，求m的取值范围． 解析：(1)因为ρ＝2sin θ，即ρ2＝2ρsin θ，可得x2＋y2＝2y， 整理得x2＋(y－1)2＝1，表示以(0，1)为圆心，半径为1的圆， 又因为x＝ρcos θ＝2sin θcos θ＝sin 2θ，y＝ρsin θ＝2sin2θ＝1－cos 2θ，且≤θ≤，则≤2θ≤π，则x＝sin 2θ∈[0，1]，y＝1－cos 2θ∈[1，2]， 故C1：x2＋(y－1)2＝1，x∈[0，1]，y∈[1，2]． (2)因为C2：(α为参数，<α<π)， 整理得x2＋y2＝4，表示圆心为O(0，0)，半径为2，且位于第二象限的圆弧， 如图所示，若直线y＝x＋m过(1，1)，则1＝1＋m，解得m＝0； 若直线y＝x＋m，即x－y＋m＝0与C2相切，则解得m＝2， 若直线y＝x＋m与C1，C2均没有公共点，则m>2或m<0， 即实数m的取值范围(－∞，0)∪(2，＋∞)． 3．(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点A的直角坐标为(1，0)，M为C上的动点，点P满足＝，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点． 解析：(1)根据ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， 因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ， 所以x2＋y2＝2x，所以曲线C的直角坐标方程为(x－)2＋y2＝2. (2)设P(x，y)，M(x′，y′)，则有＝(x－1，y)，＝(x′－1，y′)， 因为＝ ， 所以即 因为M为C上的动点， 所以2＋2＝2， 即(x－3＋)2＋y2＝4， 所以P的轨迹C1的参数方程为： (其中α为参数，α∈[0，2π))． 所以|CC1|＝3－2，⊙C1的半径r1＝2， 又⊙C的半径r＝，所以|CC1|<r1－r， 所以C与C1没有公共点． 考情分析 坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程及应用；二是曲线的参数方程与极坐标方程的综合应用．全国卷对此部分内容的考查以解答题的形式出现，难度中等．突出数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等．　　 学生用书↓第88页 考点一　极坐标方程及其应用 (2023·河南郑州第三次质量预测)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x＝，曲线C2的参数方程为(θ为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C1，C2的极坐标方程； (2)若曲线C3：θ＝α分别交曲线C1，C2(不包括极点)于A，B两点，求＋的最大值． 解析：(1)曲线C1的方程可化为x2＋(y－1)2＝1(0≤x≤1)， 又所以C1的极坐标方程为ρ＝2sin θ. 曲线C2中，2＋y2＝(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，即＋＝1. 所以C2的极坐标方程为ρ2(1＋sin2 θ)＝4. (2)由题意可知：|OA|2＝ρ＝4sin2α，|OB|2＝ρ＝， 所以＋＝＋＝. 当α＝时，＋的最大值为. 感悟提升 1．直角坐标与极坐标方程的互化 (1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可． (2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsin θ，ρcos θ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等． 2．求解与极坐标有关的问题的主要方