专题4重难突破12 非线性回归问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

重难突破12　非线性回归问题 类型一　对数函数模型y＝c1＋c2ln x 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D(单位：dB)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i＝1,2，…，10)数据作了初步处理，得到上面的散点图及一些统计量的值． (Ii－)2 (Wi －)2 (Ii－)· (Di－) (Wi－)· (Di－) 1.04×10－11 45.7 －11.5 1.56×10－21 0.51 6.88×10－11 5.1 表中Wi＝lg Ii，＝Wi. (1)根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的经验回归方程＝＋·lg I； (2)当声音强度大于60 dB时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且＋＝1010.已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和，请根据(1)中的经验回归方程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由． 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－·. 解析：(1)由Wi＝lg Ii，先建立D关于W的经验回归方程，由于＝＝＝10， 所以＝－＝45.7－(－11.5)×10＝160.7， 所以D关于W的经验回归方程是＝10W＋160.7， 即D关于I的经验回归方程是＝10·lg I＋160.7. (2)点P的声音能量为I＝I1＋I2， 因为＋＝1010， 所以I＝I1＋I2＝10－10(I1＋I2)＝10－10 ≥9×10－10(当且仅当＝，即I2＝2I1时等号成立)， 根据(1)中的经验回归方程，点P的声音强度D的最小预测值为＝10·lg(9×10－10)＋160.7＝10·lg 9＋60.7>60， 所以点P会受到噪声污染的干扰． 感悟提升 对数函数模型y＝c1＋c2ln x的求法 1．确定变量，作出散点图． 2．根据散点图，作出y＝c1＋c2ln x的函数选择． 3．变量置换，令z＝ln x，通过变量置换把问题转化为＝1＋2z的经验回归问题，并求出经验回归方程＝1＋2z. 4．根据相应的变换，写出＝1＋2ln x的经验回归方程．　 针对练1.生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温．脉搏率f是单位时间心跳的次数，医学研究发现，动物的体重W(单位：g)与脉搏率f存在着一定的关系．如表给出一些动物体重与脉搏率对应的数据，图1画出了体重W与脉搏率f的散点图，图2画出了lg W与lg f的散点图． 动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊 体重/g 25 200 300 2 000 5 000 30 000 50 000 脉搏率 670 420 300 200 120 85 70 学生用书↓第80页 为了较好地描述体重和脉搏率的关系，现有以下两种模型供选择：①f＝kW＋b；②lg f＝klg W＋b. (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)不妨取表中豚鼠和兔的体重脉搏率数据代入所选函数模型，求出f关于W的函数解析式． 参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.5. 解析：(1)模型②lg f＝klg W＋b最符合实际． 根据散点图的特征，图2基本上呈直线形式，所以可选择一次函数来刻画lg W和lg f的关系． (2)lg 200＝2＋lg 2≈2.3，lg 2 000＝3＋lg 2≈3.3，lg 300＝2＋lg 3≈2.5. 由题意知 解得 所以lg f＝－lg W＋， 所以f关于W的函数解析式为f＝10·W－. 类型二　指数函数模型y＝αeβ x(α>0) (2023·河北统考模拟)随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策推动下，中国新能源汽车企业在10余年间实现了”弯道超车”，一跃成为新能源汽车产量连续7年居世界第一的全球新能源汽车强国．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，改进并生产纯电动车、插电混合式电动车、氢燃料电池车三种车型，生产效益在短期内逐月攀升，该企业在1月份至6月份的生产利润y(单位：百万元)关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图． 月份x 1 2 3 4 5 6 利润y(百万元) 6.8 8.6 16.1 19.6 28.1 40.0 (1)根据散点图判断，y＝ax＋b与y＝cedx(a，b，c，d均为常数)哪一个更适宜作为利润y关于月份x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程； (3)该车企为提高新能