送分点7 平面向量的线性运算（Word讲义）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

送分点7　平面向量的线性运算 1．(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．3m＋3n 答案：B 解析：因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2(－)，所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n.故选B． 2．(2023·皖豫名校第一次联考)已知向量m＝(2，λ)，n＝(－1，3).若(2m＋n)∥(m－n)，则实数λ的值为(　　) A．6 B．3 C．－3 D．－6 答案：D 解析：依题意得，2m＋n＝(3，2λ＋3)，m－n＝(3，λ－3).因为(2m＋n)∥(m－n)，所以λ－3＝2λ＋3，解得λ＝－6.故选D． 3．(2023·昆明市“三诊一模”质量检测)已知点P是△ABC所在平面内一点，且＋＋＝0，则(　　) A．＝－＋ B．＝＋ C．＝－－ D．＝－ 答案：D 解析：取BC边的中点为D，连接PD(图略)，则＋＝2，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以∥，＝－＝－(－)＝－.故选D． 4．(2023·甘肃银川三模)在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝(　　) A． B． C．2 D．3 答案：B 解析：设AC＝1，因为∠C＝90°，∠B＝30°，所以AB＝2，又AD是∠BAC的平分线，所以＝＝，CD＝BC，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以＝.故选B． 5．(2023·东北师大附中模拟)已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2DC，点P在线段BC上，若＝＋λ，则实数λ＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：如图，延长AD、BC交于点E，因为AB∥CD且AB＝2CD，所以点D是AE的中点，＝，由题知＝＋λ＝＋，因为B，P，E三点共线，所以＋＝1，解得λ＝.故选C． 6．已知O是△ABC所在平面内的一点，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a＋b＋c＝0，则O是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 答案：A 解析：a＋b＋c＝a＋b(－)＋c(－)＝b＋c－(a＋b＋c)， 由a＋b＋c＝0得，b＋c＝(a＋b＋c)，即＝＋. 记＝cn1，＝bn2，其中n1，n2分别表示，方向上的单位向量，则＝(n1＋n2)，由该式可以看出AO平分∠BAC，同理可得BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，故O为△ABC的内心．故选A． 7．已知P为△ABC内一点，且3＋2＋＝0，则S△PAB∶S△ABC为________. 答案：1∶6 解析：秒杀解：由平面向量奔驰定理S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0得S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝3∶2∶1， 所以S△PAB∶S△ABC＝1∶6. 通解：如图，设D，E分别为AB，AC的中点，连接PD，PE，则＋＝2.因为3＋2＋＝0，所以2(＋)＝－(＋).故点P在DE上．因为3＋2＋＝0，所以－＝－3(＋)，所以＝－3×2＝－6，所以点P到AB的距离等于点C到AB的距离的，故S△PAB∶S△ABC＝1∶6. 8．设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________. 答案：8 解析：＝(a－1，1)，＝(－b－1，2). 因为A，B，C三点共线，所以(a－1)·2－1·(－b－1)＝0，即2a＋b＝1.所以＋＝(2a＋b)(＋)＝4＋(＋)≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，所以＋的最小值为8. 1．平面向量线性运算的解题策略 (1)进行平面向量的线性运算时，要尽可能将向量转化到同一个三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行求解． (2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标，则常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，则常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断． 2．牢记平面向量线性运算中的常用结论 (1)在△ABC中，若D为BC的中点，则＝(＋).若＝，O是△ABC所在平面内一点，则＝＋. (2)若G为△ABC的重心，则＋＋＝0. (3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则＋＝2. [易错提醒]　避开平面向量线性运算中陷阱的关键： 一是注意“向量的减法运算”与“已知向量的起点和终点坐标求向量”的区别，切勿混淆；二是牢记平面向量共线与垂直的坐标表示，可牢记口诀“平行交叉，垂直相加”，即对于非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2＝x2y1，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 学科网（北京）股份有限公