送分点4 不等式的性质及解法（Word讲义）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

送分点4　不等式的性质及解法 1．(2023·广东惠州模拟)已知实数a>b>0>c，则下列结论一定正确的是(　　) A．> B．a>c C．< D．a2>c2 答案：A 解析：A选项中，因为a>b>0>c，所以>0>，故A选项正确；B选项中，因为函数y＝x在R上单调递减且a>c，所以a<c，故B选项错误；C选项中，因为a>0>c，则>0>，故C选项错误；D选项中，若a＝1，c＝－2，满足a>0>c，但a2<c2，故D选项错误．故选A． 2．已知a＝，b＝，则a，b之间的大小关系是(　　) A．a>b B．a<b C．a＝b D．无法比较 答案：A 解析：设f(x)＝2 024x＋1，则a＝，b＝，所以1－a＝＝＝＝，1－b＝＝＝，因为2 0245＋2 024>2 0245＋1，所以1－a<1－b，即a>b.故选A． 3．(2023·安徽名校高三联考)已知使不等式x2＋(a＋1)x＋a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x－1≤0，则实数a的取值范围为(　　) A．(－，＋∞) B． C．(－∞，－) D． 答案：B 解析：由3x－1≤0，得x≤.由x2＋(a＋1)x＋a≤0，得(x＋1)(x＋a)≤0. 因为使不等式x2＋(a＋1)x＋a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x－1≤0，①若a＝1，不等式(x＋1)(x＋a)≤0的解集为{－1}，符合题意；②若a<1，不等式(x＋1)(x＋a)≤0的解集为[－1，－a]，所以－a≤，所以－≤a<1；③若a>1，则不等式(x＋1)(x＋a)≤0的解集为[－a，－1]，所以a>1.综上所述，a的取值范围为，故选B． 4．设x，y为实数，满足1≤x≤4，0<y≤2，给出以下四个结论：①1<x＋y≤6；②1<x－y≤2；③0<xy≤8；④≥2.其中正确的有(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③ D．②④ 答案：C 解析：因为1≤x≤4，0<y≤2，所以1<x＋y≤6，①正确；因为1≤x≤4，－2≤－y<0，所以－1≤x－y<4，②错误；因为1≤x≤4，0<y≤2，所以0<xy≤8，③正确；因为0<y≤2，所以≥，又因为1≤x≤4，所以≥，④错误．故选C． 5．(2023·新疆普通高考适应性检测二)若关于x的不等式>0的解集为(－2，3)，则mn＝(　　) A．5 B．－5 C．6 D．－6 答案：C 解析：因为cos x－2<0恒成立，所以不等式>0等价于x2－mx－n<0，所以－2，3为方程x2－mx－n＝0的两根，所以m＝－2＋3＝1，－n＝－2×3＝－6，所以n＝6，所以mn＝1×6＝6.故选C． 6．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是(　　) A．(4，5) B．(－3，－2)∪(4，5) C．(4，5] D．[－3，－2)∪(4，5] 答案：D 解析：不等式x2－(a＋1)x＋a<0化为(x－1)(x－a)<0， 当a>1时，得1<x<a，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a≤5； 当a<1时，得a<x<1，此时解集中的整数为－2，－1，0，则－3≤a<－2. 故a的取值范围是[－3，－2)∪(4，5].故选D． 7．(2023·江西上饶市高三模拟)已知集合A＝{－5，－1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是____________. 答案：(x＋4)(x－6)>0(答案不唯一) 解析：因为不等式(x＋4)(x－6)>0的解集为{x|x>6或x<－4}，解集中只有－5在集合A中．故答案可以为(x＋4)(x－6)>0.(答案不唯一) 8．在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________. 答案： 解析：由定义运算知，(x－1)x－(a＋1)(a－2)≥1，所以x2－x－(a2－a－2)≥1. 所以x2－x－(a2－a－1)≥0， 由题意得Δ＝1＋4(a2－a－1)≤0， 即4a2－4a－3≤0，所以－≤a≤， 则实数a的最大值为. 1．判断关于不等式的命题真假的三种方法 (1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断． (2)利用函数的单调性：有些问题可利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断． (3)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断． 2．不等式的求解技巧 (1)对于与函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化． (2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，把二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集． (3)求