专题7重难突破14 极值点偏移问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

重难突破14　极值点偏移问题 类型一　对称变换 (2022·全国甲卷)已知函数f (x)＝－ln x＋x－a. (1)若f (x)≥0，求a的取值范围； (2)证明：若f (x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1. 解析：(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ex－＋1＝ex＋＝，令f (x)＝0，得x＝1，当x∈(0，1)时，f′(x)<0，f (x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f (x)单调递增．所以f (x)≥f (1)＝e＋1－a， 若f (x)≥0，则e＋1－a≥0，即a≤e＋1，所以a的取值范围为(－∞，e＋1]． (2)证明：由题知，f (x)的一个零点小于1，一个零点大于1，不妨设x1<1<x2， 要证x1x2<1，即证x1<，因为x1，∈(0，1)， 即证f (x1)>f ， 因为f (x1)＝f (x2)，即证f(x2)>f， 即证－ln x＋x－xe－ln x－>0，x∈(1，＋∞)， 即证－xe－2>0， 下面证明x>1时，－xe>0，ln x－<0， 设g(x)＝－xe，x>1， 则g′(x)＝ex－＝ex－e ＝＝， 设φ(x)＝(x>1)，φ′(x)＝ex＝ex>0， 所以φ(x)>φ(1)＝e，而e<e， 所以－e>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增， 即g(x)>g(1)＝0，所以－xe>0， 令h(x)＝ln x－，x>1， h′(x)＝－＝＝<0， 所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减， 即h(x)<h(1)＝0，所以ln x－<0； 综上，－xe－2>0， 所以x1x2<1. 感悟提升 对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0. (2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F (x)＝f (x)－f(2x0－x)，若证x1x2>x，则令F (x)＝f (x)－f. (3)判断单调性，即利用导数讨论F (x)的单调性． (4)比较大小，即判断函数F (x)在某段区间上的正负，并得出f (x)与f(2x0－x)的大小关系． (5)转化，即利用函数f (x)的单调性，将f (x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求．　　 针对练1.(2023·河北邯郸三模)已知函数f (x)＝x2＋mx－xln x. (1)若f (x)在[1，＋∞)单调递增，求实数m取值范围； (2)若f (x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，证明：x1x2<1. 解析：(1)由题意，f′(x)＝x＋m－1－ln x， 因为f (x)在[1，＋∞)单调递增，所以f′(x)≥0在[1，＋∞)恒成立， 即m≥ln x－x＋1在[1，＋∞)恒成立， 令g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝，g′(x)在[1，＋∞)上恒小于等于0， 故g(x)在[1，＋∞)单调递减，g(x)max＝g(1)＝0，故m≥0. (2)证明：f′(x)＝x＋m－1－ln x有两个零点，即m＝ln x－x＋1有两个根． 由(1)知，g(x)＝ln x－x＋1在(0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，且g(x)max＝g(1)＝0. 所以m<0，且0<x1<1<x2. 要证x1x2<1，只需证x2<， 又g(x)在[1，＋∞)单调递减，只需证g(x2)>g. 又g(x1)＝g(x2)，只需证g(x1)>g， 只需证ln x1－x1＋1>ln－＋1，只需证2ln x1－x1＋>0， 记m(x)＝－x＋2ln x， 则m′(x)＝－－1＋＝－<0， 故m(x)在(0，1)上单调递减， 从而当x∈(0，1)时，m(x)>m(1)＝1－1＝0， 所以m(x1)>0，因此x1x2<1. 类型二　比(差)值换元 (2023·湖北武汉5月模拟)已知f (x)＝ax＋＋c－ln x，其中a，b，c∈R. (1)若b＝c＝0，讨论f (x)的单调性； (2)已知x1，x2是f (x)的两个零点，且x1<x2，证明：x2(ax1－1)<b<x1(ax2－1)． 解析：(1)若b＝c＝0，即f (x)＝ax－ln x(x>0)，可得f′(x)＝a－＝， ①若a≤0，则f′(x)<0，即f (x)在(0，＋∞)单调递减； ②若a>0，令f′(x)>0有x>，即f (x)在上单调递减，上单调递增． 综上可得：当a≤0，f (x)在(0，＋∞)单调递减； 当a>0，f (x)在上单调递减，上单调递增． (2)证明：由题意知x1，x2是f (x)的两个零点，且x1<x2， 即ax1＋＋c－ln x1＝0，ax2＋＋c－ln x2＝