专题7重难突破12 切线与公切线问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

重难突破12　切线与公切线问题 类型一　切线问题 (2023·福建福州质检)已知a∈R，函数f (x)＝(x－a－1)ex－1. (1)讨论f (x)在(－∞，b)上的单调性； (2)已知点P(m，m)，若过点P可以作两条直线与曲线y＝ex－1＋1(－1<x<3)相切，求m的取值范围． 解析：(1)f′(x)＝(x－a)ex－1， 当a≥b时，f′(x)＝(x－a)ex－1≤0，所以f (x)在(－∞，b)上单调递减； 当a<b时，令f′(x)<0，则x<a，令f′(x)>0，则a<x<b， 所以函数f (x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，b)上单调递增． 综上所述，当a≥b时，f (x)在(－∞，b)上单调递减， 当a<b时，f (x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，b)上单调递增． (2)设切点为Q(x1，y1)， 因为y′＝ex－1，所以切线的斜率为ex1－1， 则切线方程为y－y1＝ex1－1(x－x1)， 因为切线过点P(m，m)， 所以m－y1＝ex1－1(m－x1)， 即m(1－ex1－1)＝ex1－1(1－x1)＋1(－1<x1<3)， 若过点P可以作两条直线与曲线y＝ex－1＋1(－1<x<3)相切， 则上述关于x1的方程至少有两个不同的解， 显然x1＝1不是该方程的解， 所以关于x的方程m＝在(－1，1)∪(1，3)上至少有两个不同的解， 令G(x)＝，x∈(－1，1)∪(1，3)， 则G′(x)＝，x∈(－1，1)∪(1，3)， 令g(x)＝ex－1＋1－x，x∈(－1，1)∪(1，3)， 则g′(x)＝ex－1－1，x∈(－1，1)∪(1，3)， 当x∈(－1，1)时，g′(x)<0，所以g(x)在(－1，1)上单调递减， 当x∈(1，3)时，g′(x)>0，所以g(x)在(1，3)上单调递增， 所以g(x)>g(1)＝1，所以当x∈(－1，1)∪(1，3)时，G′(x)>0， 所以G(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递增， G(x)的大致图象如图所示： 因为G(0)＝，G(3)＝，G(0)>G(3)， G(－1)＝，G(2)＝1，G(－1)>G(2)，G(－1)<G(3)， 所以当<m<时， 关于x的方程m＝在(－1，1)∪(1，3)上有两个不同的解， 此时过点P可以作两条直线与曲线y＝ex－1＋1(－1<x<3)相切， 所以m的取值范围为. 感悟提升 1．求切线时要注意是过点处的切线还是在点处的切线，前者需要设出切点，后者给出的点即为切点． 2．过函数图象外一点引曲线的切线条数求参数，将原问题转化为两个函数图象的交点个数问题是解答的关键，考查数形结合思想的应用． 3．直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 针对练1.已知函数f (x)＝x3－ax2，求证：当a>3时，过点P(1，f(1))恰有2条直线与曲线y＝f (x)相切． 证明：设过点P(1，f(1))的曲线y＝f (x)的切线的切点为(x0，y0)，f′(x)＝3x2－2ax，f(1)＝1－a， 则所以2x－(a＋3)x＋2ax0＋1－a＝0.令g(x)＝2x3－(a＋3)x2＋2ax＋1－a，则g′(x)＝6x2－2(a＋3)x＋2a＝(x－1)(6x－2a)，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝.因为a>3，所以>1，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表： x (－∞，1) 1 g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x)  极大值  极小值  有一个零点x＝1.因为g(a)＝2a3－(a＋3)a2＋2a2＋1－a＝(a－1)2(a＋1)>0，所以g(x)在上有且只有一个零点，所以g(x)在R上有且只有两个零点．即方程2x－(a＋3)x＋2ax0＋1－a＝0有且只有两个不相等实根，所以过点P(1，f(1))恰有2条直线与曲线y＝f (x)相切． 类型二　公切线问题 (2022·全国甲卷)已知函数f (x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f (x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线． (1)若x1＝－1，求a； (2)求a的取值范围． 解析：(1)由题意知，f(－1)＝－1－(－1)＝0，f′(x)＝3x2－1，f′(－1)＝3－1＝2，则y＝f (x)在点(－1，0)处的切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2，设该切线与g(x)切于点(x2，g(x2))，g′(x)＝2x，则g′(x2)＝2x2＝2，解得x2＝1，则g(1)＝1＋a＝2＋2，解得a＝3. (2)f′(x)＝3x2－1，则y＝f (x)在点(x1，