专题7拓展培优5 导数中的同构问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

拓展培优5　导数中的同构问题 类型一　地位同等同构型 (1)若0<x1<x2<1，则(　　) A．ex2－ex1>ln x2－ln x1 B．e x1－ex2>ln x2－ln x1 C．x2ex1>x1e x2 D．x2e x1<x1e x2 (2)若0＜x1＜x2＜a，都有x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2成立，则a的最大值为(　　) A． B．1 C．e D．2e 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)A选项，ex2－ex1>ln x2－ln x1⇔ex2－ln x2>ex1－ln x1，设f (x)＝ex－ln x．所以f′(x)＝ex－＝，设g(x)＝xex－1，则有g′(x)＝(x＋1)ex>0恒成立，所以g(x)在(0，1)上单调递增，因为g(0)＝－1<0，g(1)＝e－1>0，从而存在x0∈(0，1)，使得g(x0)＝0.由单调性可判断出，x∈(0，x0)，g(x)<0⇒f′(x)<0；x∈(x0，1)，g(x)>0⇒f′(x)>0，所以f (x)在(0，1)上不单调，不等式不会恒成立，A不正确；B选项，ex1－ex2>ln x2－ln x1⇔ex1＋ln x1>ex2＋ln x2，设函数f (x)＝ex＋ln x，可知f (x)单调递增，所以f(x1)<f(x2)，B错误；C选项，x2ex1>x1ex2⇔>，构造函数f (x)＝，f′(x)＝，则f′(x)<0在x∈(0，1)恒成立，所以f (x)在(0，1)上单调递减，所以f(x1)>f(x2)成立，C正确，D错误．故选C． (2)由x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2，两边同除以x1x2得－≤－，即＋≤＋，令f (x)＝＋，则f (x)在(0，a)上为增函数．所以f′(x)≥0在(0，a)上恒成立，而f′(x)＝，可知f (x)在(0，1)上为增函数，所以a≤1，所以a的最大值为1.故选B． 感悟提升 常见的含有二元变量x1，x2函数的同构类型 1．g(x1)－g(x2)>λ[f (x2)－f(x1)]⇔g(x1)＋λf (x1)>g(x2)＋λf(x2)，构造函数φ(x)＝g(x)＋λf (x)． 2．>k(x1<x2)⇔f (x1)－f (x2)<kx1－kx2⇔f (x1)－kx1<f(x2)－kx2，构造函数φ(x)＝f (x)－kx.　　3．<(x1<x2)⇔f (x1)－f (x2)>＝－⇔f (x1)＋>f (x2)＋，构造函数φ(x)＝f (x)＋. 针对练1.若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 答案：B 解析：由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f (x)＝2x＋log2x，则f (x)在(0，＋∞)上单调递增．又因为22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，所以2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a)<f(2b)，所以a<2b.故选B． 针对练2.若对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1＜x2，＜2，则m的最小值是(　　 ) A．e2 B．e C．1 D． 答案：D 解析：对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1＜x2，＜2，易知m≥0，则x1ln x2－x2ln x1＜2x2－2x1，所以，x1(ln x2＋2)＜x2(ln x1＋2)，即＞，令f (x)＝，则函数f (x)在(m，＋∞)上为减函数，因为f′(x)＝－，由f′(x)＜0，可得x＞，所以函数f (x)的单调递减区间为，所以(m，＋∞)⊆，m≥，因此实数m的最小值为.故选D． 类型二　指对跨阶同构型 考向1　xln x，与xex型 (1)设实数m>0，若对任意的x∈(0，＋∞)，不等式emx－≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B． C．[e，＋∞) D． (2)设a，b都是正数，若aea＋1＋b<bln b(其中e是自然对数的底数)，则(　　) A．ab>e B．b>ea＋1 C．ab<e D．b<ea＋1 (3)已知函数f (x)＝aexln x(a≠0)，若对于任意x∈(0，1)，f (x)<x2＋xln a恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：(1)D　(2)B　(3)A 解析：(1)emx≥恒成立，即memx≥ln x，进而转化为mxemx≥xln x＝eln x·ln x恒成立．当x∈(0，1]时，该不等式恒成立．当x∈(1，＋∞)时构造函数g(x)＝xex，可得g′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex，当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，则不等式emx－≥0恒成立等价于g(mx)≥g(ln x)恒成立，即mx≥