专题6拓展培优3 圆锥曲线与圆的综合问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

拓展培优3　圆锥曲线与圆的综合问题 类型一　圆的切线与圆锥曲线的综合问题 (2023·北京通州三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C截直线x＝所得线段的长度为2. (1)求椭圆C的方程； (2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，D为线段AB的中点，点N是M关于O的对称点，以N点为圆心的圆过原点O，直线DF与⊙N相切于点F，求的最大值． 解析：(1)由椭圆的离心率为，得a2＝2(a2－b2)． 又当x＝时，y2＝b2－，得b2－＝1， 所以a2＝4，b2＝2， 因此椭圆方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立方程得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0， 由Δ>0得m2<4k2＋2(*)， 且x1＋x2＝－， 因此y1＋y2＝， 所以D， 又N(0，－m)， 所以|ND|2＝2＋2， 整理得|ND|2＝， 因为|NF|＝|m|，所以＝＝1＋， 令t＝8k2＋3≥3，故2k2＋1＝， 所以＝1＋＝1＋， 因为y＝t＋在t≥3上单调递增， 所以y＝t＋≥， 等号当且仅当t＝3时成立， 此时≤1＋3＝4，故的最大值为2. 　　感悟提升 处理圆的切线与圆锥曲线综合问题，主要就是巧设直线方程，利用圆的切线性质(圆心到直线的距离等于半径)找到直线的参数之间的关系或者转化为直线斜率的一元二次方程，利用根与系数的关系求解． 针对练1.在平面直角坐标系xOy中，F为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，D为抛物线C上第一象限内任意一点，△FOD外接圆的圆心为Q，且圆心Q到抛物线C的准线的距离为. (1)求抛物线C的方程； (2)设点P(x0，y0)(x0>1)为抛物线C上第一象限内任意一点，过点P作圆x2＋(y－1)2＝1的两条切线l1，l2且与y轴分别相交于A，B两点，求△PAB面积的最小值． 解析：(1)由抛物线C：x2＝2py， 可知F，准线y＝－， 外接圆的圆心在直线y＝上， 依题意＝，即p＝1，所以抛物线C的方程为x2＝2y. (2)设过点P(x0，y0)的直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)， 直线kx－y＋y0－kx0＝0与圆x2＋(y－1)2＝1相切，则＝1， 化简得(x－1)k2－2(y0－1)x0k＋y－2y0＝0　①， 设方程的根为k1，k2，则有 设直线l1，l2在y轴上的截距分别为y1，y2， 则y1＝y0－k1x0，y2＝y0－k2x0， |AB|＝|y1－y2|＝|k1－k2|·x0 ＝x0· ＝ ＝＝， S＝|AB|·x0＝· ＝· ＝≥×(2＋2)＝2. 当且仅当x－1＝，即x0＝时，△PAB面积取得最小值，面积的最小值为2. 类型二　圆锥曲线中的四点共圆问题 考向1　四点共圆的证明 如图所示，已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2＋＝1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为－的直线l与C交于A，B两点，点P满足＋＋＝0. (1)证明：点P在C上； (2)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A，P，B，Q四点在同一圆上． 证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，F(0，1)，直线l的方程为y＝－x＋1， 代入x2＋＝1消去y整理得：4x2－2x－1＝0，判别式Δ＝(－2)2－4×4×(－1)＝24>0， 由韦达定理，x1＋x2＝， 所以y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2＝1， 因为＋＋＝0， 所以＝－(＋)＝(－(x1＋x2)，－(y1＋y2))＝， 即P，代入椭圆C的方程得：＋＝1，所以点P在椭圆C上． (2)法一：由P和题设知Q，线段PQ的垂直平分线l1的方程为y＝－x　①， 设AB的中点为M，由(1)可得M， 所以线段AB的垂直平分线l2的方程为y＝x＋　②， 联立解得 所以l1、l2的交点为N， 故|NP|＝＝， 所以|NP|＝|NQ|＝， 而|AB|＝·|x2－x1|＝×＝，|MN|＝＝， 所以|AM|＝，|NA|＝|NB|＝＝，从而|NA|＝|NB|＝|NP|＝|NQ|， 故A，P，B，Q四点在同一圆上． 法二：由P和题设知Q，故直线PQ的方程为y＝x，直线AB的方程为y＝－x＋1， 设经过A，P，B，Q四点的曲线系方程为λ＋(x－y)(x＋y－1)＝0， 化简整理得：x2＋y2－x＋y－λ＝0　①， 令λ＋2＝－1，得λ＝－6，代入①式整理得：＋2＝， 显然该方程表示圆，所以A，P，B，Q四点在同一圆上． 学生用书↓第97页 圆锥曲线中的四点共圆问题在高考中是一大难点，常规的做法是用垂径定理找圆心，并通过计算得出圆心到四点的距离相等，从而证出四点共圆，再求出圆的方程．除此之外，应用曲线系方程也可以很好地解决这类问题，下面先分析曲线系方程的用法： 　　感悟提升 1．曲线系方程：设f(x，y)＝0和g(