专题5.2 不等式选讲（Word讲义）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

第二讲　不等式选讲 1．(2023·全国甲卷)已知f(x)＝2|x－a|－a，a>0. (1)求不等式f(x)<x的解集； (2)若曲线y＝f(x)的图象与坐标轴所围成的图形的面积为2，求a. 解析：(1)若x≤a，则f(x)＝2a－2x－a<x， 即3x>a，解得x>，即<x≤a； 若x>a，则f(x)＝2x－2a－a<x，解得x<3a， 即a<x<3a， 综上，不等式的解集为. (2)f(x)＝ 画出f(x)的草图，则f(x)与坐标轴围成△ADO与△ABC，且△ABC的高为a，D(0，a)，A，B，所以|AB|＝a， 所以S△OAD＋S△ABC＝|OA|·a＋|AB|·a＝a2＝2，解得a＝. 2．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|. (1)画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象； (2)若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范围． 解析：(1)由已知得g(x)＝ 所以y＝f(x)与y＝g(x)的图象为： (2)y＝f(x＋a)的图象是由函数y＝f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度或向右平移|a|(a<0)个单位长度得到的，根据图象可知向右平移不符合题意，向左平移到y＝f(x＋a)的图象的右支过y＝g(x)图象上的点时为临界状态，如下图所示，此时y＝f(x＋a)图象的右支对应的函数解析式为y＝x＋a－2(x≥2－a)，则4＝＋a－2，解得a＝. 因为f(x＋a)≥g(x)，所以a≥， 故a的取值范围为[，＋∞)． 3．(2022·全国甲卷)已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明： (1)a＋b＋2c≤3； (2)若b＝2c，则＋≥3. 证明：(1)由柯西不等式有[a2＋b2＋(2c)2](12＋12＋12)≥(a＋b＋2c)2， 所以a＋b＋2c≤3， 当且仅当a＝b＝2c＝1时，取等号， 所以a＋b＋2c≤3. (2)因为b＝2c，a>0，b>0，c>0，由(1)得a＋b＋2c＝a＋4c≤3， 即0<a＋4c≤3，所以≥， 由权方和不等式知＋＝＋≥＝≥3， 当且仅当＝，即a＝1，c＝时取等号， 所以＋≥3. 　　考情分析 不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是绝对值不等式以及不等式的证明，其中绝对值不等式的解法以及利用不等式恒成立求参数的取值范围，含有参数的绝对值的函数最值是命题的热点．该部分在高考中以选做解答题的形式呈现，试题难度中档．突出数学运算、逻辑推理、直观想象等素养的考查． 学生用书↓第80页 考点一　含绝对值不等式的解法 (2023·陕西榆林一模)已知函数f(x)＝|x＋a－2|＋|x＋3|. (1)当a＝0时，求不等式f(x)≥9的解集； (2)若函数f(x)>2，求a的取值范围． 解析：(1)当a＝0时，f(x)≥9，即|x－2|＋|x＋3|≥9. 当x≤－3时，2－x－x－3≥9，解得x≤－5； 当－3<x<2时，2－x＋x＋3≥9，不成立； 当x≥2时，x－2＋x＋3≥9，解得x≥4； 故不等式的解集为(－∞，－5]∪[4，＋∞)． (2)|x＋a－2|＋|x＋3|≥|x＋a－2－(x＋3)|＝|a－5|，x＝－3时，等号成立，而f(x)>2，所以|a－5|>2，解得a>7或a<3，故a的取值范围为(－∞，3)∪(7，＋∞)． 　　感悟提升 绝对值不等式的解法 针对练1.(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集； (2)若f(x)>－a，求a的取值范围． 解析：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|， 故f(x)≥6即|x－1|＋|x＋3|≥6； 当x≤－3时，1－x－x－3≥6，解得x≤－4，又x≤－3，所以x≤－4； 当－3＜x≤1时1－x＋x＋3≥6，即4≥6，不成立； 当x>1时，x－1＋x＋3≥6，解得x≥2，又x＞1，所以x≥2. 综上，原不等式的解集为{x|x≤－4或x≥2}． (2)f(x)＝|x－a|＋|x＋3|≥|(x－a)－(x＋3)|＝|3＋a|，当x的值在a与－3之间(包括两个端点)时取等号， 若f(x)>－a，则只需|3＋a|>－a， 即3＋a>－a或3＋a<a，得a>－. 故a的取值范围为. 考点二　不等式的证明 (2022·全国乙卷)已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，证明： (1)abc≤； (2)＋＋≤. 证明：(1)因为a>0，b>0，c>0，则a>0，b>0，c>0， 所以≥ ， 即(abc)≤，所以abc≤，当且仅当a＝b＝c，即a＝b＝c＝时取等号． (2)因为a>0，b>0，c>0， 所以b＋c≥2，a＋c≥2，a＋b≥2， 所以≤＝，≤＝，≤＝， ＋＋≤＋＋＝＝， 当且仅当a＝b