专题2重难突破6 数列中的奇、偶项问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

重难突破6　数列中的奇、偶项问题 1．数列中的奇、偶项问题的常见题型 (1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； (2)含有(－1)n的类型； (3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型； (4)已知条件明确奇偶项问题． 2．对于通项公式分奇、偶项有不同表达式的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k. 类型一　已知条件明确的奇偶项问题 (2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，若S4＝32，T3＝16. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n>5时，Tn>Sn. 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，而bn＝k∈N*， 则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6， 于是解得a1＝5，d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n＋3， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n＋3. (2)证明：法一：由(1)知，Sn＝＝n2＋4n，bn＝k∈N*， 当n为偶数时，bn－1＋bn＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1， Tn＝·＝n2＋n， 当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0，因此Tn>Sn； 当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)2＋(n＋1)－[4(n＋1)＋6]＝n2＋n－5， 当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0，因此Tn>Sn， 所以当n>5时，Tn>Sn. 法二：由(1)知，Sn＝＝n2＋4n，bn＝k∈N*， 当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝·＋·＝n2＋n， 当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0，因此Tn>Sn； 当n为奇数时，若n≥3，则Tn＝(b1＋b3＋…＋bn)＋(b2＋b4＋…＋bn－1)＝·＋·＝n2＋n－5，显然T1＝b1＝－1满足上式， 因此当n为奇数时，Tn＝n2＋n－5， 当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0，因此Tn>Sn， 所以当n>5时，Tn>Sn. 　　感悟提升 1．当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，其中奇数项、偶数项各为项，可直接利用分组求和Sn＝(a1＋a3＋…＋an－3＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an－2＋an)． 2．当n为奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an⇒Sn＝Sn－1＋an，其中Sn－1可利用上述结论代入，然后再快速求解Sn＝Sn－1＋an. 针对练1.(2023·广东二模)已知等差数列{an}的公差d>0，且满足a1＝1，a1，a2，a4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝求数列{bn}的前2n项的和T2n. 解析：(1)因为a1，a2，a4成等比数列，所以a＝a1a4，即(1＋d)2＝1×(1＋3d)，解得d＝0或d＝1. 因为d>0，所以d＝1，所以an＝1＋1×(n－1)＝n. (2)由(1)得bn＝所以bn＝ 所以T2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n－1＋b2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n) ＝(21＋23＋…＋22n－1)＋ ＝＋＝－－， 所以数列{bn}的前2n项的和T2n＝－－. 类型二　数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n)) 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n. (1)求数列{an}的前100项和S100； (2)求数列{an}的通项公式． 解析：(1)因为a1＝1，an＋1＋an＝4n，所以S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100) ＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)＝4×＝10 000. (2)由题意，an＋1＋an＝4n①， an＋2＋an＋1＝4(n＋1)②， 由②－①得an＋2－an＝4， 由a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3. 当n为奇数时，an＝a1＋(－1)×4＝2n－1， 当n为偶数时，an＝a2＋(－1)×4＝2n－1. 综上所述，an＝2n－1. 学生用书↓第43页 　　感悟提升 解决an＋an＋1＋…＋an＋t＝An＋B问题的方法 由两式相减得an＋t－an－1＝A(n≥2)，这就得到“隔项成等差”数列{an}．特别地，当A＝0时，数列{an}为周期数列． 针对练2.(2023·广东深圳二模)已知数列{an}满足a1＝3，anan＋1＝9×22n－1，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式；