专题1.2 三角恒等变换与解三角形（Word讲义）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

第二讲　三角恒等变换与解三角形 1．(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为cos α＝1－2sin2＝，而α为锐角，所以sin ＝＝＝＝.故选D． 2．(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：B 解析：因为sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝，则sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，所以cos (2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝.故选B． 3．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 a cos B－b cos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由题意结合正弦定理可得sin A cos B－sin Bcos A＝sin C，即sin A cos B－sin B cos A＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A，整理可得sin B cos A＝0，由于B∈(0，π)，故sin B>0，据此可得cos A＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝.故选C． 4．(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝(　　 ) A．＋表高 B．－表高 C．＋表距 D．－表距 答案：A 解析：由平面相似可知，＝，＝，而DE＝FG，所以＝＝＝＝，而CH＝CE－EH＝CG－EH＋EG，即AB＝×DE＝＋DE＝＋表高．故选A． 5．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60˚，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________. 答案：2 解析：如图所示：记AB＝c，AC＝b，BC＝a， 法一：由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60˚＝6，因为b>0，解得b＝1＋，由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得，×2×b×sin 60˚＝×2×AD×sin 30˚＋×AD×b×sin 30˚，故AD＝＝＝2. 法二：由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60˚＝6，因为b>0，解得b＝1＋，由正弦定理可得，＝＝，解得sin B＝，sin C＝，因为1＋>>，所以C＝45˚，B＝180˚－60˚－45˚＝75˚，又∠BAD＝30˚，所以∠ADB＝75˚，即AD＝AB＝2. 6．(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120˚，AB＝2，AC＝1. (1)求sin ∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90˚，求△ADC 的面积． 解析：(1)由余弦定理可得：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝4＋1－2×2×1×cos 120˚＝7， 则BC＝，cos ∠ABC＝＝＝， sin ∠ABC＝ ＝＝. (2)由三角形面积公式可得＝＝4， 则S△ACD＝S△ABC＝×(×2×1×sin 120˚)＝ . 考情分析 1．三角函数的化简与求值是高考的命题重点，其中关键是运用二倍角公式、两角和与差的正余弦、正切公式进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心． 2．正、余弦定理及应用是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题，常与三角恒等变换交汇融合，解答题常处于第一题位置，注重基础知识、基本能力的考查． 学生用书第17页 考点一　三角恒等变换 1．(2023·安徽淮北一模)已知＝，则sin ＝(　　) A．－ B． C． D．－ 答案：C 解析：因为＝＝＝cos α－sin α＝，所以sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝＝×＝.故选C． 2．(2022·新高考Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos(α＋β)＝2cos (α＋)sin β，则(　　) A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1 C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1 答案：C 解析：由已知得：sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β，即：sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即：sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，所以tan