送分点8 平面向量的数量积（Word讲义）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

送分点8　平面向量的数量积 1．(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 ·＝(　　) A． B．3 C．2 D．5 答案：B 解析：法一：以{，}为基底向量，可知||＝||＝2，·＝0，则＝＋＝＋，＝＋＝－＋，所以·＝·＝－2＋2＝－1＋4＝3.故选B． 法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，可得＝(1，2)，＝(－1，2)，所以·＝－1＋4＝3.故选B． 2．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 答案：D 解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)，可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D． 3．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：C 解析：因为|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2，又因为|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，所以9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b，所以a·b＝1.故选C． 4．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC一定是(　　) A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：B 解析：由(－)·(＋－2)＝0，得·(＋)＝0，即(－)·(＋)＝0，所以2＝2，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形．故选B． 5．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　) A．(－2，6) B．(－6，2) C．(－2，4) D．(－4，6) 答案：A 解析：法一：·＝||||cos ∠PAB＝2||cos ∠PAB，又||cos ∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形(图略)可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30˚＝6，·＝2×2×cos 120˚＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2，6).故选A． 法二：如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(－1，). 设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2，0)，且－1<x<3.所以·＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6).故选A． 6．(2023·四川内江一模)已知向量a＝(2，4)，b＝(－2，m)，若a＋b与b的夹角为60˚，则m＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：D 解析：由题意得a＋b＝(0，4＋m)，故cos 〈a＋b，b〉＝＝＝，解得m＝±，其中m＝－时，cos 〈a＋b，b〉＝－不合题意，舍去，故m＝.故选D． 7．(2023·全国甲卷)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos 〈a－c，b－c〉＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：D 解析：因为 a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，即a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝2，所以a·b＝0.如图，设＝a，＝b，＝c， 由题知，OA＝OB＝1，OC＝，△OAB是等腰直角三角形，AB边上的高OD＝，AD＝，所以CD＝CO＋OD＝＋＝，tan ∠ACD＝＝，cos ∠ACD＝，cos 〈a－c，b－c〉＝cos ∠ACB＝cos 2∠ACD＝2cos2∠ACD－1＝2×()2－1＝．故选D． 8．(2023·河南郑州第一次质量预测)已知四边形ABCD是边长为2的正方形，若＝3，且F为BC的中点，则·＝________. 答案： 解析：以A为坐标原点，分别以向量，的方向为x，y轴正方向建立平面直角坐标系(图略)，由已知得E(0，)，F(2，1)，则＝(0，－)，＝(2，－)，所以·＝0×2＋(－)×(－)＝. 求解平面向量数量积问题的方法 1．借“底”数字化：要先选取一组合适的基底(一般用已知的向量表示未知的向量)，建立向量之间的关系，利用向量间的关系构造关于未知向量的方程进行求解． 2．借“系”坐标化：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题解决． 3．借“图”数形化：根据向量的几何意义，将向量运算转化到平面图形中，借助平面几何的知识求解． [易错提醒] 利用cosθ＝求出向量的夹角，注意两向量夹角θ的取值范围为0˚≤θ≤180˚. 学科网（北京）股份有限公司 $$