送分点6 简单的线性规划问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

送分点6　简单的线性规划问题 1．(2021·全国乙卷)若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为(　　) A．18 B．10 C．6 D．4 答案：C 解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时，直线y＝－3x＋z在y轴上的截距最小，即z最小．解方程组得即点A的坐标为(1，3).从而z＝3x＋y的最小值为3×1＋3＝6.故选C． 2．已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数k的值为(　　) A．1 B．－2 C．1或－2 D．－ 答案：A 解析：因为不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，所以k>0， 如图，知A(2，0)，B(－，0)，C(，). 所以三角形的面积为(2＋)·()＝，解得k＝1或k＝－2(舍去).故选A． 3．实数x，y满足约束条件若z＝x－ay(a>0)的最大值为4，则a＝(　　) A．2 B． C．3 D．4 答案：C 解析：作出可行域如图所示，由解得A(－2，－2).由图得B(2，0)，化目标函数z＝x－ay(a>0)为y＝x－z，当直线y＝x－z过A或B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值． 把A(－2，－2)代入z＝x－ay，z＝－2＋2a＝4，得a＝3，符合题意；把B(2，0)代入得z＝2≠4.所以a＝3.故选C． 4．已知x，y满足则z＝x2＋y2的最大值是最小值的倍数为(　　) A．13 B． C． D． 答案：D 解析：由已知画出可行域，如图中阴影部分所示， 由可得A(2，3)，z＝x2＋y2的几何意义是可行域内的任意一点(x，y)到坐标原点O(0，0)的距离的平方，又由图可得点A离坐标原点最远，则zmax＝|OA|2＝13.由图可知z＝x2＋y2的最小值是坐标原点O(0，0)到直线2x＋y－2＝0的距离的平方，又坐标原点O(0，0)到直线2x＋y－2＝0的距离d＝＝，所以zmin＝.综上，z＝x2＋y2的最大值与最小值的比值为＝，即z＝x2＋y2的最大值是最小值的倍．故选D． 5．(2023·全国乙卷)若x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为________. 答案：8 解析：作出可行域如下图所示：由z＝2x－y，移项得y＝2x－z， 联立有解得 设A(5，2)，显然平移直线y＝2x使其经过点A，此时截距－z最小，则z最大，代入得z＝8. 6．(2023·全国甲卷)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为______________. 答案：15 解析：作出可行域，如图，由图可知， 当目标函数y＝－x＋过点A时，z有最大值，由可得即A(3，3)，所以zmax＝3×3＋2×3＝15. 7．若实数x，y满足则的最大值是________. 答案：2 解析：作出可行域如图中阴影部分所示，而的几何意义为可行域内一点P与坐标原点确定直线的斜率的倒数，因为＝，因此，问题转化为求点P与原点确定直线的斜率的最小值，即当点P在直线x＝2与x＋y－3＝0的交点处时，斜率取最小值，取得最大值2. 8．(2023·甘肃省第二次高考诊断考试)若实数x，y满足约束条件则z＝ax＋by(a>b>0)取最大值4时，＋的最小值为________. 答案：2 解析：由题意可知，可行域是由A(－1，0)，B(1，－2)，C(1，2)构成的三角形及其内部区域．当且仅当直线z＝ax＋by经过点C(1，2)时，z取得最大值，所以a＋2b＝4，所以＋＝(＋)(a＋2b)＝(2＋＋＋2)≥(4＋2)＝2，当且仅当＝，即a＝2b＝2时，等号成立． 1．线性规划问题中目标函数的常见形式 (1)截距型：z＝ax＋by，将问题转化为直线y＝－x＋在y轴上的截距的问题； (2)斜率型：z＝，将问题转化为点(x，y)与点(a，b)连线斜率的问题(7题)； (3)距离型：z＝(x－a)2＋(y－b)2，将问题转化为(x，y)与(a，b)两点间距离的平方的问题(4题). 2．利用线性规划求目标函数最值的步骤 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l. (2)平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置，有时需要进行目标函数所表示的直线l和可行域边界表示的直线的斜率的大小比较． (3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． [易错提醒] 在解决线性规划问题时，一定要明白目标函数的几何意义，尤其是表示截距时，系数的正负要注意． 学科网（北京）股份有限公司 $$