送分点5 基本不等式（Word讲义）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

送分点5　基本不等式 1．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为(　　) A．9 cm2 B．16 cm2 C．4 cm2 D．5 cm2 答案：C 解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，最大值为4 cm2.故选C． 2．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋ C．y＝2x＋22－x D．y＝ln x＋ 答案：C 解析：选项A，因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以选项A不符合题意．选项B，因为y＝|sin x|＋≥2＝4，所以y≥4，当且仅当|sin x|＝，即|sin x|＝2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|＝2不可能成立，因此y>4，所以选项B不符合题意．选项C，因为y＝2x＋22－x≥2＝4，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，x＝1时不等式取等号，所以ymin＝4，所以选项C符合题意．选项D，当0<x<1时，ln x<0，y＝ln x＋<0，所以选项D不符合题意．综上，所给函数中最小值为4的是选项C中的函数．故选C． 3．已知P(a，b)为圆x2＋y2＝4上任意一点，则当＋取最小值时，a2的值为(　　) A． B．2 C． D．3 答案：C 解析：因为P(a，b)为圆x2＋y2＝4上任意一点，所以a2＋b2＝4. 所以＋＝(＋)(a2＋b2)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝， 当且仅当b2＝2a2＝时取等号，故a2＝.故选C． 4．(2023·山东菏泽一模)设实数x，y满足x＋y＝1，y>0，x≠0，则＋的最小值为(　　) A．2－1 B．2＋1 C．－1 D．＋1 答案：A 解析：当x>0时，＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当＝，即x＝－1，y＝2－时等号成立，此时有最小值2＋1；当x<0时，＋＝＋＝＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当＝，即x＝－1－，y＝2＋时等号成立，此时有最小值2－1，所以＋的最小值为2－1.故选A． 5．正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋≥m2－3m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－4，1) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C．[－1，4] D．(－∞，－1]∪[4，＋∞) 答案：C 解析：正实数x，y满足＋＝1，则x＋＝(x＋)(＋)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即y＝4x且＋＝1时，等号成立，则x＝2，y＝8时，x＋取到最小值4，要使不等式x＋≥m2－3m恒成立，即m2－3m≤4，解得－1≤m≤4，所以实数m的取值范围是[－1，4].故选C． 6．(2023·宁夏银川检测)已知x>0，y>0，x＋2y＋xy－6＝0，则下列说法不正确的是(　　) A．xy的最大值为2 B．x＋2y的最小值为4 C．x＋y的最小值为3 D．x＋y的最小值为4－3 答案：C 解析：对于A，由基本不等式得x＋2y≥2，则x＋2y＝6－xy≥2，令＝t(t>0)，则t2＋2t－6≤0，解得0<t≤，即≤，xy≤2，当且仅当x＝2，y＝1时，等号成立，故A正确； 对于B，由基本不等式得x＋2y≥2，所以≥，所以≥xy，又xy＝6－(x＋2y)，所以≥6－(x＋2y)，所以(x＋2y)2＋8(x＋2y)－48≥0，解得x＋2y≥4，或x＋2y≤－12(舍)，当且仅当x＝2，y＝1时等号成立，故B正确； 对于C，D，令x＋y＝m，m>0，则y＝m－x，则x＋2y＋xy－6＝0可化为x＋2(m－x)＋x(m－x)－6＝0，整理得x2＋(1－m)x＋6－2m＝0，因为此方程一定有解，所以Δ≥0，即(1－m)2－4(6－2m)≥0，解得m≥4－3，或m≤－4－3(舍)，故C错误，D正确．故选C． 7．(2021·上海卷)已知函数f (x)＝3x＋(a＞0)的最小值为5，则a＝________. 答案：9 解析：f (x)＝3x＋＝(3x＋1)＋－1≥2－1＝5，当且仅当3x＋1＝时等号成立，所以a＝9，经检验，当且仅当3x＝2时等号成立． 8．(2022·新高考Ⅱ卷改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则下列结论正确的是________. ①x＋y≤1；②x＋y≥－2；③x2＋y2≤2；④x2＋y2≥1. 答案：②③ 解析：因为ab≤()2≤(a，b∈R)，由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3()2，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以①错误，②正确