送分点2 复数（Word讲义）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

送分点2　复数 1．(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：C 解析：因为(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以解得a＝1.故选C． 2．(2023·全国乙卷)设z＝，则＝(　　) A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i 答案：B 解析：由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，则＝1＋2i.故选B． 3．(2022·全国乙卷)已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则(　　) A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2 答案：A 解析：因为z＝1－2i，则＝1＋2i，z＋a＋b＝1－2i＋a(1＋2i)＋b＝(1＋a＋b)＋(2a－2)i，由z＋a＋b＝0，得即故选A． 4．(2022·全国甲卷)若z＝－1＋i，则＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．－＋i D．－－i 答案：C 解析：＝＝＝－＋i.故选C． 5．(2023·贵州贵阳市四校联考(三))已知z(1＋i)＝1＋ai，i为虚数单位，若z为纯虚数，则实数a＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案：A 解析：因为z(1＋i)＝1＋ai，所以z＝＝＝，因为z为纯虚数，所以＝0且≠0，解得a＝－1.故选A． 6．(2023·河南郑州第三次质量预测)已知复数z＝i＋i2＋i3＋…＋i2 023(i为虚数单位)，则复数z＋i在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 解析：z＝i＋i2＋i3＋…＋i2 023＝＝＝－1，所以z＋i＝－1＋i，所以z＋i在复平面内对应的点为(－1，1)，该点在第二象限．故选B． 7．设有下面四个命题： p1：若复数z满足∈R，则z∈R； p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R； p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2； p4：若复数z∈R，则∈R. 其中的真命题为(　　) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 答案：B 解析：法一(特值法)：取z＝i，则z2＝－1∈R，但z∉R，故命题p2不正确；取z1＝i，z2＝2i，则2＝－2i，z1z2＝－2∈R，但z1≠2，故命题p3不正确，结合选项可知选B． 法二(直接法)：对于命题p1，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由＝＝∈R，得b＝0，则z∈R成立，故命题p1正确；对于命题p2，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z2＝(a2－b2)＋2abi∈R，得ab＝0，则a＝0或b＝0，复数z可能为实数或纯虚数，故命题p2错误；对于命题p3，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，由z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i∈R，得ad＋bc＝0，不一定有z1＝2，故命题p3错误；对于命题p4，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z∈R，得b＝0，所以＝a∈R成立，故命题p4正确．故选B． 8．(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________. 答案：2 解析：法一：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝－a＋(1－b)i， 则即 所以|z1－z2|2＝(2a－)2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12， 所以|z1－z2|＝2. 法二(优解)：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(，1)，求|a－b|.因为(a＋b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2，所以4＋(a－b)2＝16，所以|a－b|＝2，即|z1－z2|＝2. 1．复数相关概念与运算的技巧 (1)实数化：与复数的基本概念和性质有关的问题，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键． (2)法则化：与复数的模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用待定系数法求解． (3)几何化：求解复数模的最值问题，利用复数的几何意义转化为平面图形中的最值问题求解． 2．复数运算中常见的结论 (1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. (2)－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R). (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*). (4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*). [易错提醒] 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部是实数b；注意区分虚数与纯虚数．如小题5. 2．求复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，不要忘记开方．如小题8. 学科网（北京）股份有限公司 $$