三角恒等变换专项练习-2024届高考数学一轮复习

三角恒等变换 一、基础巩固练 1.sin 18°cos 36°的值为(　　) A. B. C. D.1 2.的值为(　　) A. B. C.- D.- 3.已知cos(75°+)=,则cos(30°-α)的值为(　　) A. B.- C. D.- 4.设α∈(0,),β∈(0,),且tan α=,tan β=,则α+2β=(　　) A. B. C. D. 5.已知α为锐角,且cos α(1+tan 10°)=1,则α的值为(　　) A.20° B.40° C.50° D.70° 6.已知sin α-sin(α+)=,则cos(-2α)=(　　) A.- B.- C. D. 7.若sin(2α+)+cos 2α=,则tan α=(　　) A. B.1 C.2- D.2+ 8.函数f(x)=(cos x-sin x)·cos(-x)的最小正周期是　　　　.  9.已知sin α-cos α=1,则sin(-2α)的值为　　　　.  10.已知f(x)=cos x(sin x-cos x)+. (1)求f(x)在[0,π]上的单调递减区间; (2)若f(α)=,α∈(),求sin 2α的值. 二、综合提升练 11.= (　　) A.-3 B.-6 C.3 D.6 12.已知sin 37°≈,则的近似值为(　　) A. B. C. D. 13.已知tan β=,tan(α+β)=,若β∈(0,),则β=(　　) A. B. C. D. 14.写出一个使等式(-tan 10°)·cos α=1成立的角α的值为　　　　. 1.A　解析 sin 18°cos 36°== 2.B　解析 原式==tan(45°+15°)= 3.A　解析 cos(30°-α)=1-2sin2(15°-)=1-2cos2(75°+)=1- 4.A　解析 因为tan β=,则tan 2β=,所以tan(α+2β)==1.因为0<tan 2β=<1, 则2β∈(0,),所以α+2β∈0,,故α+2β= 5.B　解析 由cos α(1+tan 10°)=1,可得cos α=1, 即cos =1, 所以cos α==cos 40°. 又α为锐角,故α=40°. 6.B　解析 由题意可得sin α-sin(α+)=sin α-(sin α+cos α)=sin α-cos α=sin(α-)=, 则cos(-2α)=cos(2α-)=cos 2(α-)=1-2sin2(α-)=1-2=- 7.C　解析 因为sin(2α+)+cos 2α=,则sin 2αcos+cos 2αsin+cos 2α=, 所以sin 2α+cos 2α)=,所以sin(2α+)=, 即sin(2α+)=1,解得2α++2kπ,k∈Z,则α=+kπ,k∈Z,所以tan α=tan(+kπ)=tan 因为tan=tan()=,所以tan=2- 8.π　解析 f(x)=(cos x-sin x)cos(-x)=(cos x-sin x)sin x=sin 2x-sin(2x+)-, 所以最小正周期为T==π. 9　解析 已知sin α-cos α=1,则2(sin α-cos α)=2sin(α-)=1, 所以sin(α-)=令β=α-,则α=β+,即sin β=, 所以sin(-2α)=sin(-2β-)=sin(-2β)=cos 2β=1-2sin2β= 10.解 (1)f(x)=sin xcos x-cos2x+sin 2x-=sin(2x-)+1. 令+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x+kπ,k∈Z. ∵x∈[0,π],∴函数f(x)在区间[0,π]上的单调递减区间为[]. (2)由(1)知f(x)=sin(2x-)+1. 又f(α)=,∴sin(2α-)=- ∵α∈(),∴2α-(), ∴cos(2α-)=-=-, ∴sin 2α=sin[(2α-)+] =sin(2α-)cos+cos(2α-)·sin=-+(-) 11.A　解析 = == ===-3 12.B　解析 因为sin 37°,所以cos 37°=, 则 = = 13.C　解析 tan α=tan(α+β-β)=又因为tan β=,tan(α+β)=, 所以tan α= 因为sin2α+cos2α=1,所以tan α=0,所以α=kπ,k∈Z. 故当k为奇数时,cos α=-1,sin α=0; 当k为偶数时,cos α=1,sin α=0. 因为tan β=,所以tan β=±1. 又β∈(0,),所以tan β=1,则β= 14.50°(答案不唯一)　解析 因为(-tan 10°)·cos α=(tan 60°-tan 10°)cos α =()cos α=cos α =cos α=cos α=cos α=c