第1.2讲 数列之数列求和（9大题型）-备战2024年高考数学高频考点必刷题型精讲+精练（新高考通用）

2024年高考数学高频考点必刷题型精讲+精练（新高考通用） 第1.2讲 数列之数列求和 ①公式法 ②裂项相消法Ⅰ—等差型 ③裂项相消法Ⅱ—根式型 ④裂项相消法Ⅲ—指数型 ⑤裂项相消法Ⅳ—其他型 ⑥错位相减法 ⑦分组（并项）求和法 ⑧倒序相加法 ⑨数列求和的其他办法 一、公式法 （1）等差数列的前n项和 （2）等比数列的前n项和 （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二、几种数列求和的常用方法 （1）分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． （5）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 【裂项技巧】 ①等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3） ④三角型 （1） （2） （3） ⑤阶乘： 题型一：公式法 【例1】在等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，若，求的值. 【例2】已知等差数列前项和是，已知 (1)求的通项公式； (2)设等比数列满足，求前项和． 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．48 B．52 C．54 D．56 2．（2024上·北京顺义·高三统考期末）设为等差数列的前项和．若，公差，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2024·全国·校联考模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．150 B．120 C．75 D．68 4．（2024·广东深圳·深圳中学校考一模）若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（  ） A． B． C． D． 5．（2024上·广东·高三广东华侨中学校联考期末）设等比数列的各项均为正数，前项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．31 6．（2024上·陕西西安·高三统考期末）设数列是递增的等比数列，公比为，前项和为.若，则（    ） A．31 B．32 C．63 D．64 7．（2024·云南曲靖·统考一模）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A．36 B．54 C．28 D．42 二、填空题 8．（2024上·河南驻马店·高三统考期末）已知是等比数列的前项和，，则 ． 9．（2024上·全国·高三专题练习）已知两个等差数列， 的前n项和分别为， . 若 则 . 10．（2024·全国·高三专题练习）记等差数列的前n项和为，若，，则当取得最大值时，n＝ ． 11．（2024上·重庆·高三统考期末）记数列的前n项和为，若，且，则 ． 三、解答题 12．（2024·全国·高三专题练习）记等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，已知，，. (1)若，求的通项公式； (2)若，求. 13．（2024·全国·高三专题练习）在等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 14．（2024上·辽宁抚顺·高三校联考期末）在正项等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，证明：. 【题型技巧】 （1）等差数列的前n项和 （2）等比数列的前n项和 题型二：裂项相消法Ⅰ—等差型 【例1】数列满足条件：，点在直线上． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 一、解答题 1．（2024上·广东湛江·高三统考期末）已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．（2024·广东肇庆·校考模拟预测）在等差数列中，是它的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 3．（2024上·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知数列满足，其中为数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 4．（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）已知数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【题型技巧】 （1）基本步骤 （2）裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （3）消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边