第14招 求阴影部分面积的技巧课件 2023-2024学年人教版九年级上册极速提分法

第14招 求阴影部分面积的技巧 九年级数学（上）极速提分法 如图，AB为⊙O的直径，AC，DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°. (1)求证：DP是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积． 例 解题秘方：此类求不规则图形面积的问题，一般采用作差法，将不规则图形的面积转化为已学过的规则图形面积的差． (1)证明：如图，连接OD. ∵∠ACD＝60°，∴∠AOD＝2∠ACD＝120°. ∴∠DOP＝180°－120°＝60°. ∵∠APD＝30°， ∴∠ODP＝180°－30°－60°＝90°. ∴OD⊥DP. 又∵OD为⊙O的半径，∴DP是⊙O的切线． 技巧1 作差法 1.如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且 EC＝BC，连接AE，AC.过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D. ︵ ︵ (1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； 解：直线CD与⊙O相切．理由如下： 如图，连接OC. ∵ EC＝BC ，∴∠CAD＝∠BAC. ∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO. ∴∠CAD＝∠ACO.∴AD∥OC. ∵AD⊥CD，∴OC⊥CD. 又∵OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切． ︵ ︵ 解：如图，连接OE，CE，连接BE交OC于点F. ∵ EC＝BC ，∴OC⊥BE，BF＝EF. ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°. ∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°. ∴四边形DEFC是矩形． ︵ ︵ ︵ ︵ 2. 【2023·交大附中模拟】如图， 作⊙O的任意一条直径FC，分别以F，C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E，A和D，B，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得到六边形ABCDEF，则⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为________． 技巧2 割补法 【点拨】 3. 【2023·攀枝花】如图，⊙O的直径AB垂直弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与⊙O相切于点C. (1)求证：∠PCB＝∠PAD； 证明：如图，连接OC. ∵CP与⊙O相切，∴OC⊥PC， ∴∠PCB＋∠OCB＝90°. ∵AB⊥DC，∴∠PAD＋∠ADF＝90°. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. 由圆周角定理得∠ADF＝∠OBC，∴∠PCB＝∠PAD. (2)若⊙O的直径为4，弦DC平分半径OB，求图中阴影部分的面积． 【点方法】 　计算不规则图形的面积时，常常通过割补法将不规则图形的面积转化为几个规则图形面积的和或差的形式． 技巧 等积法 3 4.如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的三等分点，若弦CD＝2，求图中阴影部分的面积． 【点方法】 本题利用等积法将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积． 5.如图，在平面直角坐标系中，以A(5，1)为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B，C，解答下列问题： 技巧4 平移法 (1)将⊙A向左平移______个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A′，此时点A′的坐标为______，阴影部分的面积S＝______； 3 (2，1) 6 (2)求BC的长． 【点拨】 　本题利用平移法将图中阴影部分的面积转化为底为3，高为2的平行四边形的面积． 6.如图，三个小正方形的边长都为1，求图中阴影部分面积的和．(结果保留π) 技巧5 化零为整法(凑整法) 【点拨】 　利用凑整法可将图中阴影部分拼成一个圆心角为135°、半径是1的扇形． 7. 【2023·青岛】如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与⊙O交于点C，以点A为圆心，以OC的长为半径作EF，分别交AB，AC于点E，F，若OC＝2，AB＝4，则图中阴影部分的面积为________． 4－π 技巧6 变换法 ︵ 【点拨】 　连接OB，根据切线的性质可得∠OBA＝90°，从而可得∠BOA＋∠A＝90°，根据题意可得OB＝OC＝AE＝AF＝2，然后利用阴影部分的面积为△AOB的面积－(扇形OBC的面积＋扇形AEF的面积)，进行计算即可解答． (2)解：∵∠P＝30°，∠ODP＝90°，OD＝3， ∴OP＝2OD＝6. ∴DP＝＝3. ∴S阴影＝S△ODP－S扇形ODB＝×3×3－＝－. (2)若AB＝4，CD＝，求图中阴影部分的面积． ∴EF＝CD＝.∴BE＝2. ∴AE＝＝＝2. ∴AE＝AB.∴∠ABE＝30°. ∴∠AOE＝60°.∴∠BOE＝120°. ∵＝，∴∠COE＝∠BOC＝60°. ∵OE＝OC，∴△COE是等边三角形． ∴∠ECO＝60°＝∠BOC.∴CE∥AB.∴S△ACE＝S△COE. ∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°， ∴∠DCE＝30°.∴CE＝2DE.∴DE2＋CD2＝(2D