第13招 与圆的切线有关的计算与证明的常见类型课件 2023-2024学年人教版九年级上册极速提分法

第13招 与圆的切线有关的计算与证明的常见类型 九年级数学（上）极速提分法 如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE. (1)若AD＝DB，OC＝5，求AC的长； (2)求证：DE是⊙O的切线． 例 解题方法：看到切线，就想作过切点的半径；看到直径，就想直径所对的圆周角是直角；看到判定切线，就想： (1)若已知直线与圆有公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接这点与圆心，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：连半径，证垂直； (2)若未知直线与圆有公共点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：作垂直，证半径． (1)解：连接CD，如图． ∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°， 即CD⊥AB. ∵AD＝DB，∴AC＝BC＝2OC＝10. 类型 1 证线段平行 1.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D. (1)求证：PO平分∠APC； 证明：如图，连接OB. ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又∵OA＝OB，OP＝OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP， ∴∠APO＝∠BPO，∴PO平分∠APC. 【点拨】 连接OB，根据切线的性质和角平分线的定义可证明； (2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC. 证明：∵OA⊥AP，OB⊥BP， ∴∠CAP＝∠OBP＝90°. ∵∠C＝30°， ∴∠APC＝90°－∠C＝90°－30°＝60°. ∵∠APO＝∠BPO， 【点拨】 先证△OBD是等边三角形，再通过计算得∠DBP＝∠C，最后根据平行线的判定可证明． 2. 【2023·株洲】中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之”．意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”，如图所示． 类型2 求线段长度 问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M，N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为________丈． 【点拨】 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F. 类型3 求圆的直径(方程思想) (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O的直径的长． 解：设⊙O的半径长为x. 在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2， 即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3. ∴⊙O的直径的长为6. 类型4 求角的大小 4.如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD.若∠B＝50°，则∠OCD为(　　) A．15°　　　　　　B．20° C．25° D．30° B 【点拨】 5. 【2023·新疆节选】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E. 类型5 证明线段垂直 (1)求证：∠ABC＝∠CAD. 证明：∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC. ∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠CAD. (2)求证：BE⊥CE. 证明：如图，连接OC. ∵CE与⊙O相切于C，∴∠OCE＝90°. ∵四边形ADBC是圆内接四边形， ∴∠CAD＋∠DBC＝180°. ∵∠DBC＋∠CBE＝180°，∴∠CAD＝∠CBE. ∵∠ABC＝∠CAD，∴∠CBE＝∠ABC. ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC. ∴∠OCB＝∠CBE.∴OC∥BE. ∴∠E＝180°－∠OCE＝90°. ∴BE⊥CE. (2)证明：连接OD，如图． ∵∠ADC＝90°，E为AC的中点， ∴DE＝EC＝AC.∴∠1＝∠2. ∵OD＝OC，∴∠3＝∠4. ∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC. ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°， 即DE⊥OD.∴DE是⊙O的切线． ∴∠BPO＝∠APC＝×60°＝30°， ∴∠POB＝90°－∠BPO＝90°－30°＝60°. 又∵OD＝OB， ∴△ODB是等边三角形，∴∠OBD＝60°， ∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°， ∴∠DBP＝∠C，∴DB∥AC. (8－2) 如图，设正方形的一边与⊙O的切点为C，连接OC，则OC⊥AC. ∵AB是正方形的一条对角线， ∴∠OAC＝45°.∴AC＝OC＝2丈． ∴OA＝＝2(丈)． ∴BN＝AB－OA－ON＝