第11招 巧用圆的基本性质解圆的五种关系课件 2023-2024学年人教版九年级上册极速提分法

第11招 巧用圆的基本性质解圆的五种关系 九年级数学(上)极速提分法 如图,在⊙O中,AB=AC,∠ACB=60 . (1)求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC; (2)若D是AB的中点,求证:四边形OADB是菱形. 例 ︵ ︵ ︵ 解题秘方:利用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系证明即可. 证明:(1)∵ AB=AC ,∴AB=AC. 又∵∠ACB=60 , ∴ ABC是等边三角形. ∴AB=BC=CA. ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC. ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 关系1 弦、弧之间的关系 1.如图,在⊙O中,弦AD=BC,求证: AB=CD. ︵ ︵ 证明:因为AD=BC,所以AD=BC, 所以AD+AC=BC+AC,即AB=CD. ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 【点方法】 在同圆或等圆中,等弦对等弧,等弧对等弦(劣弧等劣弧,优弧等优弧). 2.如图,AB,AC,BC都是⊙O的弦,且∠CAB=∠CBA.求证:∠COB=∠COA. 关系2 圆周角、圆心角之间的关系 证明:在⊙O中,∠CAB,∠COB分别是CB所对的圆周角和圆心角, ∴∠COB=2∠CAB.同理可得∠COA=2∠CBA. 又∵∠CAB=∠CBA,∴∠COB=∠COA. ︵ 3. 【2023 聊城】如图,AB,CD是⊙O的弦,延长AB,CD相交于点P.已知∠P=30 ,∠AOC=80 ,则BD的度数是( ) A.30 B.25 C.20 D.10 C 关系3 弧、圆周角之间的关系 ︵ 【点拨】 如图,连接BC. ∵∠AOC=80 ,∴∠ABC=40 . ∵∠P=30 ,∴∠BCD=10 . ∴BD的度数为20 . ︵ 4.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上, ∠BAC=50 ,求∠ADC的度数. 解:如图,连接BC, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90 . 在Rt ABC中, ∠ABC=90 -∠BAC=90 -50 =40 . 又∵∠ADC,∠ABC都是AC所对的圆周角, ∴∠ADC=∠ABC=40 . ︵ 【点拨】 在同一个圆中,同弧所对的圆周角相等. 5.如图,在⊙O中,直径CD⊥弦AB于点E,AM⊥BC于点M,交CD于点N,连接AD. (1)求证:AD=AN; 证明:∵∠ADC与∠ABC都是AC所对的圆周角, ∴∠ADC=∠ABC. ∵AE⊥CD,AM⊥BC,∴∠CEB=∠AMC=90 . ∴∠ABC+∠C=∠CNM+∠C. ∴∠ABC=∠CNM.又∠CNM=∠AND. ∴∠ABC=∠AND.∴∠ADC=∠AND. ∴AD=AN. ︵ 6.如图,以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于D,交AC于E,连接DE.试判断BD,DE,EC之间的数量关系,并说明理由. 关系4 弦、圆心角之间的关系 解:BD=DE=EC.理由如下: 如图,连接OD,OE. ∵ ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60 . ∵OB=OD=OE=OC, ∴ BOD与 COE都是等边三角形. ∴∠BOD=∠COE=60 . ∴∠DOE=180 -∠BOD-∠COE=60 . ∴∠BOD=∠DOE=∠COE. ∴BD=DE=EC. 【点方法】 本题利用“在同圆中,相等的圆心角所对的弦相等”去证明三条线段相等,因此,连接OD,OE,构造弦所对的圆心角是解此题的关键. 7.如图,在⊙O中,∠AOB=90 ,且C,D是AB的三等分点,AB分别交OC,OD于点E,F. 求证:AE=BF=CD. 关系5 弦、弧、圆心角之间的关系 ︵ 证明:如图,连接AC,BD. ∵C,D是AB的三等分点,∴AC=CD=BD, ∴AC=CD=BD,∠AOC=∠COD=∠BOD. 又∵∠AOB=90 , ∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30 . ∵OA=OB,∠AOB=90 , ∴∠OAB=∠OBA=45 . ︵ ︵ ︵ ︵ 【点方法】 本题解题的关键是证∠AEC=∠ACE,从而证得AE=AC,同理证得BF=BD.从而证得AE=BF=CD. (2)连接OD,如图.∵D是的中点,∴=. ∴∠AOD=∠BOD=∠AOB. ∵∠AOB=2∠ACB=120 ,∴∠AOD=∠BOD=60 . 又∵OD=OA,OD=OB, ∴ OAD和 OBD都是等边三角形. ∴OA=AD=OD,OB=BD=OD.∴OA=AD=DB=BO. ∴四边形OADB是菱形. (2)若AB=4,ON=1,求⊙O的半径. 解:如图,连接AO. ∵AD=AN,AB⊥CD,AB=4, ∴NE=DE,AE=AB=2. 设NE=DE=x, ∵ON=1,∴OE=x-1, ∴OA=OD=OE+DE=2x-1. 在Rt AOE中,根据勾股定理, 得OA2=OE2+AE2, 即(2x-1)2=(x-1)2+(2)2, 解得x=2或x=-(负值舍去). ∴OA=2x