6.2.4 向量的数量积-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

数学必修第二册课堂学案 探究三向量共线定理的应用 【例题3】已知e,是两个不共线的向量，若AB= 2e-8e2,CB=e,+3e,CD=2e,-e,求证： 规律总结 A,B,D三点共线. (1)判断或证明A,B,C三点共线，只需看是 否存在实数x,使得AB=入AC(或BC 入AB等有公共点的两向量)即可. (2)已知向量共线求λ，常根据向量共线的条 件转化为相应向量系数相等求解。 (3)若平面内三点A,B,C共线，O为不同于 A,B,C的任意一点，则存在实数入，以使 【变式3】设向量a,b不平行，向量a+b与a十2b 0元=AOA+红OB,并且A十u=1 平行，则实数入= 随堂检测·学以致用 答案见P5 L.下列各式中不表示向量的是 ( 3.已知在△ABC中，BD是AC边上的中线，点O A.0a B.a+3b C.3a D.20 为BD的中点，若AB=a,AC=b,则AO= 2.(多选)下列各式计算正确的有 (用a,b表示). A.(-7)×6a=-42a 4.已知e,e2是两个不共线的向量，a=2e一e2, B.7(a+b)-8b=7a+15b b=e1十e,若a与b是共线向量，则实数 C.a-2b+a+2b=2a k= D.4(2a十b)=8a+4b 提示完成P课时作业（四） 6.2.4向量的数量积 [学习目标]1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量 积（重难点）.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平 面向量的垂直关系（重点）.4.发展数学抽、数学运算和逻辑推理的核心素养， 必备知识·基础落实 答案见P 要点一向量的数量积 (续表) 1.向量的夹角 范围 0≤0≤π 已知两个 向量a,b,O是平面上的任 0=0 a与b 条件 意一点 特殊 ,记作a⊥b 情况 =受 a与b 产生 作Oi=,O亦=b,则 0=π a与b 过程 叫做向量a与b的 2.向量的数量积的定义 夹角 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0，我 ·12 第六章平面向量及其应用 们把数量a bcos0叫做向量a与b的 3.(1)设与b方向相同的单位向量为e,a与b的 (或)，记作a·b,即 夹角为8，那么向量a在向量b上的投影向量 规定：零向量与任一向量的数量积为 OM与e,a,0之间的关系为：对于任意的0∈ 3.向量的数量积的物理背景 [0,x],都有OM1 如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那 么力F所做的 W就等于力F与位移 (2)acos0|bcos0)为向量a在b上(b在a s的数量积，即 ,其中0是F与s的 上)的投影的数量. 夹角。 要点三向量数量积的性质和运算律 >思考：(1)向量的数量积运算结果和向量的线 L.向量数量积的性质 性运算结果有什么区别？ 设a,b是非零向量，它们的夹角是0，e是与b (2)可以把“a·b”写成“ab”或“a×b”吗？ 方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a=acos0. (2)a⊥b台 (3)当a与b同向时，a·b= :当a与 b反向时，a·b= 特别地，a·a= |a或|a=va·a=va. 要点二投影与投影向量 (4)cos0= 1.如图，设a,b是两个非零向量，AB=a,CD=b (5)|a·bl≤alb. 过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直 2.向量数量积的运算律 线的垂线，垂足分别为A,B,得到AB,我们 对于向量a,b,c和实数入，有 称上述变换为向量a向向量b投影，A,B叫做 (1)a·b= (交换律)： 向量a在向量b上的投影向量. (2)(aa)·b=a(a·b)= (结合律)： (3)(a+b)·c= (分配律). 析 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 2.如图，在平面内任取一点O,作OM=a,ON (1)两个向量的数量积仍然是向量.() b,过点M作直线ON的垂线，垂足为M,则 (2)若a·b=b·c,则一定有a=c. ( OM,就是向量a在向量b上的投影向量， (3)若a·b<0,则a与b的夹角为钝角. (4)(a·b)·c=a·(b·c). ·13· 数学必修第二册课堂学案 关键能力·素养提升 答案见P 探究一 求向量的数量积 【变式1】(1)已知向量a与b的夹角为60°，且 a=1,|b|=3,则a·b= ;(a+ 规律总结 2b)·(a-b)= (2)在△ABC中，M,N分别为AB,BC的中 求平面向量数量积的方法 (1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直 点，AB=AC=4,AB·AC=8,则CM.AN的 接利用公式a·b=a|bcos0,运用此法计 值为 算数量积的关键是正确确定两个向量的央 探究二 向量的模 角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要 通过平