6.2.4 第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量-【优学精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册教用Word(人教A版)

该教案聚焦向量的数量积、夹角及投影向量核心知识点，以物理“功”实例导入，通过问题链衔接向量概念旧知，构建从具体功到抽象数量积的学习支架，梳理定义、性质与运算脉络。 特色在于融合数学抽象、运算与推理素养，以物理情境抽象数量积概念，例题结合菱形、正三角形等图形强化运算，题型分析渗透逻辑推理。助力学生提升抽象思维与运算能力，为教师提供结构化资源，提升教学效率。

6.2.4　向量的数量积 新课程标准解读 核心素养 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积 数学抽象 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义 数学运算 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 逻辑推理 第1课时　向量数量积的概念、运算及投影向量 　　我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功.如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为｜F｜ N，小车在水平面上位移s的大小为｜s｜ m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝｜F｜｜s｜cos θ. 【问题】　（1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？ （2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似功的标量吗？ 　 　 　 　 知识点一　向量的夹角 1.夹角： 已知两个　非零向量　a，b（如图），O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则　∠AOB＝θ　叫做向量a与b的夹角，夹角θ的取值范围是　0≤θ≤π　. 当θ＝0时，a与b　同向　；当θ＝π时，a与b　反向　. 2.垂直：如果a与b的夹角是　　，则称a与b垂直，记作　a⊥b　. 提醒　两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角的范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为. 知识点二　两个向量的数量积 1.定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量　｜a｜｜b｜cos θ　叫做向量a与b的数量积（或内积），记作　a·b　，即　a·b＝｜a｜｜b｜cos θ　. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 提醒　（1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. 2.性质：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则： （1）a·e＝e·a＝｜a｜ cos θ； （2）a⊥b⇔　a·b＝0　； （3）当a∥b时，a·b＝特别地，a2＝a·a＝｜a｜2或｜a｜＝； （4）a·b　≤　｜a｜｜b｜； （5）cos θ＝. 知识点三　投影向量 1.如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b　投影　，叫做向量a在向量b上的　投影　向量. 2.如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则 与e，a，θ之间的关系为＝｜a｜cos θ e. 提醒　（1）向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量；（2）如果向量a与向量b平行，向量a在向量b上的投影向量等于a或－a，当a与b垂直时，a在b上的投影向量为0；（3）向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不是同一个向量. 1.向量a，b的夹角为60°，且｜a｜＝1，｜b｜＝2，则a·b＝（　　） A.4 B.2 C.－2 D.1 解析：D　因为向量a，b的夹角为60°，｜a｜＝1，｜b｜＝2，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos 60°＝1×2×＝1.故选D. 2.两个向量的夹角的取值范围是[0，π].当a与b同向时，夹角为0.当a与b反向时，夹角为π. 解析：根据向量夹角的定义可知，两个向量的夹角的取值范围是[0，π]，当a与b同向时，夹角为0，当a与b反向时，夹角为π. 3.已知平面上两单位向量a，b，a与b的夹角为，则a在b上的投影向量为－b. 解析：根据题意，a，b为两单位向量，且a与b的夹角为，所以a在b上的投影向量为｜a｜cos·b＝－b. 题型一 两向量的夹角 【例1】　已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 解：如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以，为邻边作平行四边形OACB， 则＝a＋b，＝a－b. 因为｜a｜＝｜b｜＝2， 所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°， 所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 通性通法 求两个向量夹角的方法 （1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出； （2）特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b（λ1，λ2是非零常数）的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ. 【跟踪训练】 在△ABC中，C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：C　如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°. 题型二 直接用数量积公式求数量积 【例2】　（1）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜＝4，｜b｜＝2，求：①a·b；②a·a－a·b－2b·b； 解：①由已知得a·b＝｜a｜｜b｜·cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. ②a·a－a· b－2b·b＝｜a｜2－a·b－2｜b｜2＝16－（－4）－2×4＝12. （2）已知正三角形ABC的边长为1，求：①·；②·；③·. 解：①∵与的夹角为60°，∴·＝｜｜｜｜ cos 60°＝1×1×＝. ②∵与的夹角为120°，∴·＝｜｜·｜｜ cos 120°＝1×1×（－）＝－. ③∵与的夹角为60°，∴·＝｜｜｜｜·cos 60°＝1×1×＝. 通性通法 定义法求平面向量的数量积 　　若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 【跟踪训练】 1.设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为（　　） A.　　　　B. C.　　　　D.π 解析：B　设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 2.（2024·焦作月考）已知平面上三点A，B，C满足｜｜＝3，｜｜＝4，｜｜＝5，则·＋·＋·＝（　　） A.－7 B.7 C.25 D.－25 解析：D　由题得｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos（180°－C）＋5×3cos（180°－A）＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25.故选D. 题型三 投影向量 【例3】　已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e. （1）求a·b； 解： a·b＝｜a｜｜b｜cos θ ＝5×4×cos 120°＝－10. （2）求a在b上的投影向量. 解：a在b上的投影向量为｜a｜cos θe＝－e. 通性通法 投影向量的求解方法 　　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜cos θ e（θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量），其中｜a｜cos θ也称为a在b上投影向量的数量，即当0≤θ≤时，｜a｜cos θ为a在b上投影向量的模，当＜θ≤π时，｜a｜cos θ为a在b上投影向量模的相反数. 【跟踪训练】 1.已知向量a，b满足｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影向量的模是1. 解析：已知向量a，b的夹角θ＝60°，故b在a上的投影向量的模为｜b｜cos θ＝2cos 60°＝2×＝1. 2.已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝12，b方向上的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为e. 解析：∵cos θ＝＝（θ为a与b的夹角），∴向量a在向量b上的投影向量为｜a｜cos θ e＝e. 1.已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：C　如图，∠DAB＝60°，则与的夹角为∠ABC＝120°. 2.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a与b的夹角是120°，则a·b＝（　　） A.3 B.－3 C.－3 D.3 解析：B　由数量积的定义，得a·b＝｜a｜｜b｜cos 120°＝×2×（－）＝－3. 3.在等腰直角三角形ABC中，若C＝90°，AC＝，则·＝（　　） A.－2 B.2 C.－2 D.2 解析：B　由题意得·＝｜｜｜｜cos∠ABC＝2××cos 45°＝2. 4.已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于45°时，向量a在向量e上的投影向量是3e. 解析：因为向量a，e的夹角等于45°，所以向量a在向量e上的投影向量是｜a｜·cos 45°·e＝3e. 1.等边△ABC中，与的夹角为（　　） A.60°　　　B.－60° C.120°　　　D.150° 解析：A　延长AC到D，延长BC到E，则与的夹角为∠DCE，又因∠ACB＝∠DCE，所以与的夹角为60°.故选A. 2.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为（　　） A.100 J B.50 J C.50 J D.200 J 解析：B　由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50（J）. 3.对于非零向量a与b，下列不等式中恒成立的是（　　） A.a·b≥｜a｜·｜b｜ B.a·b≤｜a｜·｜b｜ C.a·b＞｜a｜·｜b｜ D.a·b＜｜a｜·｜b｜ 解析：B　设非零向量a与b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，cos θ∈[－1，1]，则a·b＝｜a｜·｜b｜·cos θ≤｜a｜·｜b｜，故选B. 4.若｜a｜＝2，｜b｜＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b上的投影向量为（　　） A.－b B.－b C.b D.－b 解析：D　向量a在向量b上的投影向量是｜a｜cos＜a，b＞ ＝2×cos 120°×＝－b.故选D. 5.（2024·惠州月考）在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：A　a·b＝·＝－·＝－｜｜·｜｜cos 60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，∴a·b＋b·c＋c·a＝－. 6.（多选）对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是（　　） A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B.非零向量a，b共线时其夹角为0 C.若a⊥b，则a·b＝0 D.｜a｜＝ 解析：CD　a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；非零向量a，b共线时其夹角为0或π，所以B错误；由数量积的定义知，C正确；因为a·a＝｜a｜｜a｜cos 0＝｜a｜2，所以｜a｜＝，所以D正确. 7.在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD的形状是矩形（填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方形”）. 解析：由·＝0，知AB⊥BC.由＝，知BC􀰿AD，所以四边形ABCD是矩形. 8.已知a·b＝16，e为b方向上的单位向量.若a在b上的投影向量为4e，则｜b｜＝4. 解析：设a与b的夹角为θ，且a·b＝16，∴｜a｜·｜b｜·cos θ＝16，又∵a在b上的投影向量为4e，∴｜a｜·cos θ e＝4e，∴｜a｜cos θ＝4，∴｜b｜＝4. 9.如图所示，在Rt△ABC中，A＝90°，AB＝1，则·＝－1. 解析：·＝｜｜·｜｜cos（180°－B）＝－｜｜·｜｜·cos B＝－｜｜·｜｜·＝－｜｜2＝－1. 10.已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a·b＝－3，e为与b同向的单位向量. （1）求a与b的夹角θ； （2）求a在b上的投影向量. 解：（1）由a·b＝｜a｜｜b｜cos θ， 得cos θ＝＝＝－. ∴θ＝120°. （2）a在b上的投影向量为｜a｜cos θe＝－e. 11.（2024·丽水月考）定义：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－6，则｜a×b｜＝（　　） A.8 B.－8 C.8或－8 D.6 解析：A　cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.∴｜a×b｜＝2×5×＝8. 12.（多选）下列说法正确的是（　　） A.向量a在向量b上的投影向量可表示为· B.若a·b＜0，则a与b的夹角θ的范围是（，π］ C.已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角为时，向量a在向量e上的投影向量为0 D.若两非零向量a与b的夹角为θ，当a·b＝｜a｜｜b｜｜cos θ｜时，θ必为锐角 解析：ABC　对于选项A，根据投影向量的定义，知A正确；对于选项B，∵a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＜0，则cos θ＜0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈（，π］，故B正确；对于选项C，a在e上的投影向量为｜a｜cose＝6×0e＝0，故C正确；对于选项D，由题意知，a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝｜a｜｜b｜｜cos θ｜，所以cos θ＝｜cos θ｜，则θ可能为锐角，也可能θ＝或θ＝0，故D错误. 13.（2024·安阳月考）已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是等边三角形，·＝－8. 解析：·＝｜｜｜｜cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，因为0°＜∠BAC＜180°，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形.此时·＝｜｜｜｜cos 120°＝－8. 14.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y. （1）若＝，求x，y的值； （2）若＝3，｜｜＝4，｜｜＝2，且与的夹角为60°，求·的值. 解：（1）若＝，则＝＋， 故x＝y＝. （2）因为｜｜＝4，｜｜＝2，∠BOA＝60°， 所以∠OBA＝90°，所以｜｜＝2. 又因为＝3，所以｜｜＝. 所以｜｜＝＝，cos∠OPB＝. 设与的夹角为θ，所以与的夹角θ的余弦值为－. 所以·＝｜｜｜｜cos θ＝－3. 15.如图所示，已知AB是圆O的直径，且AB＝4，点C，D是的两个三等分点，则·＝（　　） A.1 B.2 C.4 D.6 解析：D　连接BD，BC（图略）.∵C，D是的两个三等分点.∴∠DBA＝60°，∠ABC＝30°，∠DAC＝30°.在Rt△ABD中，AD＝AB·sin 60°＝4×＝2.在Rt△ABC中，AC＝AB·sin 30°＝4×＝2，∴·＝｜｜｜｜·cos 30°＝2×2×＝6. 16.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. （1）若点D是线段OB靠近点O的四等分点，用，表示向量； （2）求·的取值范围. 解：（1）由已知可得＝，连接AM，BM（图略），则四边形OAMB是菱形，则＝＋， 所以＝－＝－（＋）＝－－. （2）易知∠DMC＝60°，且｜｜＝｜｜，那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝， 则·＝××cos 60°＝. 当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1， 则·＝cos 60°＝. 所以·的取值范围为［，］. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $