专题07 抛物线与阿基米德三角形（讲义）-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之解析几何

专题07 抛物线与阿基米德三角形 【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】： 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形的得名，是因为阿基米德本人最早利用逼近的思想证明 如下结论： 抛物线与阿基米德三角形定理： 如图，假设抛物线方程为， 过抛物线准线上一点向抛物线引两条切线，切点分别记为，其坐标为. 则以点和两切点围成的三角形中，有如下的常见结论: 结论1.直线过抛物线的焦点. 结论2.直线的方程为. 证明：参见下面的例1.也可由极点与极线得到. 进一步，设：，则. 则，显然由于过焦点，代入可得.我们得到了抛物线焦点弦两端点坐标之间的基本关系. 结论3.过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线. 证明：过点的切线方程为，过点的切线方程为，两式相除可得：.这就证明了该结论. 结论4.. 证明：由结论3，，.那么. 结论5.. 证明：,则.由抛物线焦点弦的性质可知，代入上式即可得，故. 结论6.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴. 证明：由结论3的证明可知，过点的切线的交点在抛物线准线上.且的坐标为，显然平行于抛物线的对称轴. 【一】、定点问题 例1、已知的方程为，过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，证明：直线恒过定点． 例2、已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，． （1）证明：直线过定点． （2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程． 1．在平面直角坐标系中，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，为的中点． （1）证明：轴； （2）直线是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 2．设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、.当直线垂直于轴时，. (1)求抛物线的标准方程. (2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、.求证：直线过定点. 【二】、切线问题 例3、（2023届·黄冈中学5月二模·T6）设抛物线的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则|AB|=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 例4、已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C．2 D．3 例5、（多选）设抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（    ） A．轴 B． C． D． 例6．已知抛物线的方程为，点是抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点是的中点． （1）求证：切线和互相垂直； （2）求证：直线与轴平行； （3）求面积的最小值． 1． 过向抛物线引两条切线，切点分别为,又点在直线上的射影为，则焦点与连线的斜率取值范围是 . 2． （2023秋·海南·高三统考期末）已知，是抛物线上位于不同象限的两点，分别过，作的切线，两条切线相交于点，为的焦点，若，，则（    ） A． B． C． D．4 3． （多选）已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．当时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点 4．已知抛物线的方程为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，． （1）若点坐标为，求切线，的方程； （2）若点是抛物线的准线上的任意一点，求证：切线和互相垂直． 【三】、面积问题 例7、已知抛物线：，直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值. 例8、已知点，动点到点的距离比动点到直线的距离大1，动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）为直线上的动点，过做曲线的切线，切点分别为、，求的面积的最小值 1．已知点、，直线与相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之差为，点的轨迹为曲线． （Ⅰ）求曲线的轨迹方程； （Ⅱ）为直线上的动点，过做曲线的切线，切点分别为、，求的面积的最小值． 2．（2022·浙江杭州·学军中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，l于点P，Q，N． (1)求证：； (2)若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，若，求实数的取值范围； 【四】、外接圆的问题 例9、双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为 ． 例10、已知点分别为双曲线的左､右焦