专题06 中点弦问题（设而不求与点差法）（讲义）-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之解析几何

专题06 中点弦问题 1、相交弦中点（点差法） 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 椭圆中的中点弦解题步骤: 第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则， 第二步：两式相减得， 第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得，此种方法为点差法。 特别提醒： 若是椭圆上不垂直于x轴的两点，是的中点，为椭圆的中心，则直线与的斜率之积为定值 2、同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 3、设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 题型【一】、椭圆中的中点弦问题 例1、（2021·全国·高二单元测试）椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 例2、（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（       ） A． B． C． D． 例3、（2022·广东·清远市博爱学校高二阶段练习）已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别为和. (1)求椭圆的标准方程. (2)斜率为的直线与椭圆交于､两点，若线段的中点为，为坐标原点，且直线的斜率存在，试判断与的乘积是否为定值，若是请求出，若不是请说明理由. 例4、（2023上·河南南阳·高二统考阶段练习）已知椭圆. (1)求过点且被点平分的弦所在直线的方程； (2)过点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程. 1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：上存在两点M，N关于直线对称，且线段MN中点的纵坐标为，则的值是（       ） A． B． C． D．2 2．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且的中点坐标为，则___________. 3．（2022·全国·高二）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2023上·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆L的标准方程； (2)过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分．求此弦所在的直线方程． 题型【二】、双曲线中的中点弦问题 例5、（2022·广东·普宁市华美实验学校高二阶段练习）过点作斜率为的直线与双曲线相交于，两点，若是线段的中点，则双曲线的离心率为___________. 例6、（2022上·湖北孝感·高二校考期末）已知双曲线，过点且被平分的弦所在的直线斜率为（    ） A． B． C． D． 例7、（2022·江苏·高二）已知双曲线的离心率，双曲线上任意一点到其右焦点的最小距离为． （1）求双曲线的方程． （2）过点是否存在直线，使直线与双曲线交于，两点，且点是线段的中点？若直线存在，请求直线的方程：若不存在，说明理由． 例8、（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知双曲线()经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由． 1．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·山东烟台·高二统考期末）已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024上·江苏·高三校联考阶段练习）已知，是双曲线：上的两点，点是线段的中点. (1)求直线的方程； (2)若线段的垂直平分线与相交于，两点，证明：，，，四点共圆. 4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）已知双曲线. (1)若离心率为，求的值，的顶点坐标、渐近线方程； (2)若，是否存在被点平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由． 题型【三】、抛物线中的中点弦问题 例9、（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，直线交于，两点，若弦的中点的纵坐标为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 例10、（2023上·河南·高二校联考阶段练习）（多选题）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，弦中点的横坐标为4，，则（    ） A．的斜率为1 B．在轴上的截距为 C．弦中点的纵坐标为 D． 例11、（2022上·北京东城·高三北京二中校考阶段练习）已知A，B是抛物线上的两点，线段AB的中点为，则直线AB的方程为