专题05 圆锥曲线之焦点三角形（讲义）-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之解析几何

专题05 圆锥曲线之焦点三角形 一、椭圆的焦点三角形： 椭圆上任意一点与两焦点、构成的三角形:。 秒杀技巧与性质一： 1.周长为定值：。 2.当点靠近短轴端点时增大，当点靠近长轴端点时减小；与短轴端点重合时最大。(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P在短轴端点时顶角最大。) 秒杀技巧与性质二： 3.三角形面积：，即与短轴端点重合时面积最大。 秒杀技巧与性质三： 4.焦点直角三角形:底角为，有四个(四个全等，点为通径端点。)；顶角为，即以为直径的圆与椭圆交点为点：。 秒杀技巧与性质四： 5.双曲线:ⅰ.焦点直角三角形的个数：一定为八个，顶角为直角与底角为直角的各为四个； ⅱ.为焦点三角形的顶角)=。等面积思想在解题时非常重要。 二、双曲线的焦点三角形： 双曲线上任意一点与两焦点、构成的三角形:。 已知双曲线方程为 如图，顶点在第一象限，对于双曲线焦点三角形， 秒杀技巧与性质一： 如图，、是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记，则的面积. 秒杀技巧与性质二： 1、如图，有， 2、离心率. 秒杀技巧与性质三： 双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为. 证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a. 题型【一】、以焦点三角形的周长为情景命题 例1、（2020·西藏南木林县第一中学高三月考）若椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为（　　） A． B． C． D． 例2、（2018·辽宁大连·统考二模）设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3、（2023·山西吕梁·统考二模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，，且的面积为，则的离心率是（    ） A． B． C．2 D．3 例4、（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知双曲线C：的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若的周长为36，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 1、（2020·黑龙江）已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ） A．20 B．16 C．18 D．14 2．（2019·广西南宁）定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆的焦距为，焦点三角形的周长为，则椭圆的方程是__________． 3．（2023·山东青岛·统考三模）已知O为坐标原点，双曲线C：的左，右焦点分别为，，过C的右焦点且倾斜角为的直线交C右支于A，B两点，AB中点为W，，△的周长等于12，则（    ） A．a＝3 B．双曲线C的渐近线方程为 C． D． 4．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆相交于点、，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．存在，使为直角三角形 C．存在，使的周长最大 D．当时，四边形面积最大 5．（2023·广东广州·统考模拟预测）（多选题）已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（    ） A．若的两条渐近线相互垂直，则 B．若的离心率为，则的实轴长为 C．若，则 D．当变化时，周长的最小值为 6．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 题型【二】、以焦点三角形的面积为情景命题 例5、（2020·安徽省定远中学）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则__________． 例6、（2020·云南陆良）已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 例7、（2019·安徽蚌埠·蚌埠二中校考二模）已知抛物线的准线过双曲线的左焦点且与双曲线交于､两点，为坐标原点，且的面积为，则双曲线的离心率为 A． B．4 C．3 D．2 例8、（2019·四川宜宾·统考三模）已知双曲线的左右焦点分别为，以它的一个焦点为圆心，半径为的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于两点，则四边形的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 1、（2020·山西大同）已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则的面积为 2．（2020·上海普陀·高三三模）设为双曲线（）的上一点，，（为左、右焦点），则的面积等于（ ） A． B． C． D． 3．（2020·全国·统考高考真题）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ） A．