专题04 轨迹方程的求法（讲义）-【2024高考总复习】玩转压轴题，突破140分高三数学之解析几何

专题04 轨迹方程的求法 1.动点轨迹问题解题策略一般有以下几种： （1） 直译法：一般步骤为： ①建系,建立适当的坐标系； ②设点,设轨迹上的任一点P(x，y)； ③列式,列出动点P所满足的关系式； ④代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简； ⑤证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. (2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； (3)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程； (4)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程． 2.解轨迹问题注意： （1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等. （2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点. 题型【一】、定义法求曲线的轨迹方程 定义法： 如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 例1、（2022上·安徽芜湖·高二校考期末）已知、，若，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 例2、（2023上·江西南昌·高三南昌市第三中学校考阶段练习）一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 2．（2023上·山东聊城·高二统考期中）已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2023上·四川成都·高二校联考期末）已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切． (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程； (2)直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程． 4．（2023上·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）已知圆，圆，动圆P以点P为圆心，且与圆外切，与圆内切. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)已知点为轨迹C上任意一点，求的最大值. 题型【二】、直接法求曲线的轨迹方程 直接法： 如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 例3、（2023上·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)直线与轨迹C交于E，F两点，若的长为，求直线的方程． 例4、（2021上·四川成都·高三石室中学校考期末）已知点S是圆上任意一点，过S作x轴的垂线，垂足为H，点T满足，记点T的轨迹为C． (1)求轨迹C的方程； (2)设轨迹C与x轴的交点分别为，，与y轴正半轴的交点为B，M是轨迹C上任意一点，且M不在坐标轴上．若直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q．试判断的形状，并说明理由． 1．（2023上·福建泉州·高二统考阶段练习）已知直线，，动点满足，且到和的距离之积为. (1)求的轨迹的方程； (2)已知，过的动直线与交于不同两点，，若线段上有一点满足，求的最小值. 题型【三】、参数法求曲线的轨迹方程 参数法： 如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t）， y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。 例5、（2023上·湖南长沙·高二雅礼中学校考期中）如图，设P是上的动点，点D是点P在x轴上的投影，Q点满足（）． (1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程； (2)若，设点，A关于原点的对称点为B，直线l过点且与曲线C交于点M和点N，设直线AM与直线BN交于点T，设直线AM的斜率为，直线BN的斜率为． （i）求证：为定值； （ii）求证：存在两条定直线、，使得点T到直线、的距离之积为定值． 例6、（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xO