提高专题7 导数中的双变量问题 专题讲义-2024届高三数学二轮复习

【二轮复习—函数与导数】 提高专题7 导数中的双变量问题 探究一 构造差函数（极值点偏移） 【方法储备】 思路一：构造对称差函数 构造对称差函数是极值点偏移问题的一种通性解法,主要用来解决两数和或者积与极值点相关的不等式证明问题.对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧,然后根据函数的单调性,通过两个变量之间的关系“减元”,建立新函数,最终将问题转化为函数的单调性来求解. 已知函数满足(),极值点为，求证:或. ⑴求函数的导数,确定函数的单调区间,求出极值点,确定； ⑵构造函,注意； ⑶判断在时的单调性,得出与0的大小关系,进而得到与的大小关系； ⑷与的大小关系，即为与的大小关系，结合的单调性，得到与的大小关系. 思路二：消元构造一元函数 消元构造一元函数是解决极值点偏移的另一种简单快捷的方法.利用两数之比(差)作为变量，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解，将双变量问题转化为单变量问题，从而实现消元的目的. 已知函数有两个零点分别为, 若,求证:. ⑴建立方程组:; ⑵定关系：利用方程的结构特点消去参数，建立的联系，即； ⑶换元：引入新变量,证明即证明，将不等式问题转化为关于的函数问题; 构造函数求解：构造关于的函数，，研究函数的单调性求最值. 【典例精讲】 例1.(2023·安徽省蚌埠市月考) 已知函数． 求的单调区间 若，为两个不相等的实数，且满足，求证：． 解：由题意知的定义域为，， 当时，当时，， 的单调递增区间是，单调递减区间是； 将两边同时除以，得， 即，， 由知在上单调递增，在上单调递减， 又，，当时，， 设，则， 令， 则， 由，得，，， 在上单调递增， 又，， 当时，， 即，即，又，， 又，，在上单调递减， ，故．  例2.(2023·浙江省衢州市月考) 已知函数． 若在上单调递减，求实数的取值范围； 若是方程的两个不相等的实数根，证明：． 解：，， 在上单调递减， 在上恒成立，即， 即在上恒成立， 设，，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以函数的最大值是，所以； 若是方程的两个不相等的实数根， 即有个不同实数根，且，， 可得有个不同实数根，显然， 得所以， 不妨设，则， 要证明， 只需证明， 即证明，即证明， 令，， 令函数， 所以， 所以函数在上单调递减， 当时，，所以，， 所以，即，即得． 【拓展提升】 练1-1(2023·河北省石家庄市模拟) 已知函数． 讨论函数的单调性； 若是的两个不相等的零点，证明：． 解： ①若  ，则  ，故  在  上单调递增； ②若  ，则  时，  时，  ， 故  在  上单调递减，在  上单调递增； ③若  ，则  时，  时，  ， 故  在  上单调递减，在  上单调递增； 由知  时， 在  单调递减，在  单调递增，  ． 令  则  ，即  在  上单调递增． 则   ． 注意到当  时，   有两个不相等的零点， 则  ． 得  两个零点分别在  中． 令  ，则  ． 因  在  单调递增，则  ． 令  ，  ， 因  ，  ， 则  ，则  ． 故  在  上单调递减，则  ． 故  ，所以  ． 练1-2(2023·湖北省襄阳市模拟) 已知函数 当时，，求实数的取值范围 若，，，使得，求证：． 解：由，，得，即，其中 令，，得， 设， 则，所以在上单调递增， 所以，所以， 所以在上单调递增，所以在上有最大值． ． 所以的取值范围为 证明：，即， 整理为， 令，， 则，所以在上单调递增， 不妨设，所以，从而， 所以， 所以 下面证明，即证明， 令，即证明其中，只要证明． 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以， 所以， 所以．  探究二 同构法 【方法储备】 思路一：单调性同构 题型特点：含有双变量，把下标相同的双变量移到一起后每个变量的结构作用相同，多以构造函数比较大小的形式出现，如： ⑴，等价变形为，研究函数的单调性； ⑵，先判断函数的单调性，去掉绝对值后，分离，构造函数； ⑶，令，则，证明函数. 思路二：结构同构 题型特点：变形为，若单调递增，则；若单调递减， 则.如： 等. 【典例精讲】  例4.(2023·湖北省十堰市月考) 已知函数，若对任意的，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为___ ． 解：因为， 所以函数在上单调递增， 不妨设， 则 等价于对任意的，恒成立， 令， 则有对任意的，恒成立， 即函数在上单调递减， 所以在时恒成立， 等价于：在时恒成立． 只需满足即可，解得， 又因为，所以， 即实数的取值范围为． 故答案为． 例5. (2023·河北省保定市模拟) 已知实数满足，，则(    ) A. B. C. D. 解：根据题意， 令，， 则，， 得，可得