提高专题6 比较大小问题 专题讲义-2024届高三数学二轮复习

【二轮复习—函数与导数】 提高专题6 比较大小问题 探究一 指数式、对数式背景下的大小比较 【方法储备】 思路一：根据指数、对数的结构判断 底数不同，指数相同，可考虑幂函数的单调性；底数相同，指数或对数不同，可考虑指数函数或对数函数的单调性；底数不同、指数或对数都不同，可借助中间数，或者利用对数运算、基本不等式、不等式的性质综合判断. 思路二：构造函数 ⑴通过对原式进行等价转换,使得要比较的两式或三式在形式上具有一致性,然后构造符合这种形式的函数,最后利用函数的单调性来解决；⑵要比较的两式在形式上不一致,若两式中具有相同的量,则不妨将这些量看成变量,构造相关函数,利用函数单调性比较大小. 【典例精讲】 例1.(2023·湖北省孝感市联考) 已知，，现有如下说法：①则正确的说法有          横线上填写正确命题的序号 解：依题意，，，故，故①错误； ，则，故②正确； ， 故，故③正确故填②③. 例2.(2023·四川省宜宾市模拟) 已知，，，则(    ) A. B. C. D. 解：  ，  ，  ， 两边取对数得：  ，  ，  ， 令  ，  ， 则  ， 令  ， ， 则 ， 所以  在  上为减函数， 所以  ， 故  在  上恒成立， 故  在  上单调递增， 所以  ，故  ， 即  ， 因为  在  上单调递增，所以  ． 故选： 【拓展提升】 练1-1(2023·江苏省盐城市模拟) 已知函数的导函数，，则 (    ) A. B. C. D. 解：因为，则， 当时，，单调递增， 且为偶函数， ，，， 因为，，，所以， 所以， 所以 ． 故选C 练1-2(2023·吉林省吉林市模拟) 设，则(    ) A. B. C. D. 解：由， 令函数，可得， 当，可得，单调递增； 当，可得，单调递减， 所以当，函数取得极大值，即为最大值， 且当时，，当时，， 函数的图形，如图所示， 对于函数，当且时，． 设且， 则，可得，所以， 所以， 所以． 故选：． 探究二 与函数交汇下的大小比较 【方法储备】 思路一：单调性法 ⑴对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除外衣”比较大小； ⑵有解析式函数，可以通过函数性质或者导数等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小. 思路二：放缩法 ⑴对数：利用单调性，放缩底数，或者放缩真数； ⑵指数和幂函数结合放缩； ⑶利用均值不等式的不等关系进行放缩； ⑷“数值逼近”：对于一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数，那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。 ⑸利用切线不等式放缩： . 如，利用,则， ，即. 【典例精讲】 例3.(2023·河南省洛阳市模拟) 已知，，，则(    ) A. B. C. D. 解：令，， 当时，，则函数单调递增；当时，，则函数单调递减； 所以，所以 ， 所以 ，所以， 令，， 当时，，则函数单调递减； 当时，，则函数单调递增； 所以，所以， 所以，所以， 所以， 故选C． 例4. (2023·浙江省金华市模拟) 已知函数，设，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 解： ， 为偶函数， 当时， 在上恒成立， 则在上为增函数， ， 当且仅当时等号成立，， ，， 当且仅当时等号成立，， ，，． 故选：． 【拓展提升】 练2-1(2023·安徽省名校联考) 偶函数与其导函数的定义域均为，在区间上单调递减，对任意恒有成立，若，，，则正确的是(    ) A. B. C. D. 解：是偶函数， 的图象关于对称， 记，则， 不妨设为常数，即， 因为为偶函数，所以， 所以，所以，即， 是以为周期的周期函数． 又在区间上单调递减，  在区间上单调递减，在区间上单调递增． ，，  ． 记，则，  在上单调递增， ， ， ． 故选择． 练2-2(2023·山东省滨州市模拟) 对于三个不等式：①；②；③；其中正确不等式的个数为(    ) A. B. C. D. 解：对于①：  ，故①正确； 对于②：  ，  ， 所以，故②正确； 对于③：  ． 设  ，则  ，  ， 易得当  时，  取得最大值  ， 所以    时等号成立， 则有  ，   ，故③正确． 综上可知，正确不等式的个数为个． 故选：． 【方法储备】探究三 基本不等式下的大小比较 基本不等式背景下比较大小,考查基本不等式的运用,单独命题考查利用基本不等式比较大小的试题较少，大部分的试题是与其他的策略方法综合考查. 【典例精讲】 例5.(2023·浙江省丽水市月考) 已知，，，则(    ) A. B. C. D. 解：， ，， ， ， 故． 【拓展提升】 练3-1(2023·江苏