提高专题5 导数与函数的零点问题 专题讲义-2024届高三数学二轮复习

【二轮复习—函数与导数】 提高专题5 导数与函数的零点问题 【方法储备】探究一 判断函数零点个数 利用导数研究零点个数问题： 1.图象法：利用导数分析函数单调性，借助极值、最值等画出函数大致图象判断零点个数；或转化为两个函数图象，判断交点个数； 2.零点存在性定理：利用导数分析函数单调性，借助零点存在定理判断每个单调区间判断是否存在零点. 【典例精讲】 例1.(2023·江苏省南京市期中) 已知函数． Ⅰ若函数在上单调递增，求实数的取值范围； Ⅱ当时，讨论函数零点的个数． 解：因为， 由函数在上单调递增，则在上恒成立． 令，， 当时，，所以恒成立． 所以在上单调递增，所以，所以 由，则，． 所以，是的两个零点． 因为，由知，函数在上单调递增，，无零点． ①当时，，，，无零点． ②当时，，设，， 在上递增，又，， 存在唯一零点，使得． 当时，，在上递减 当时，，在上递增． 又，，所以，函数在上有且仅有个零点． 综上，当时，函数有且仅有个零点． 例2.(2022·福建省泉州市模拟)（多选） 设函数，则下列判断正确的是(    ) A. 存在两个极值点 B. 当时，存在两个零点 C. 当时，存在一个零点 D. 若有两个零点，则 解：函数的定义域为， ， 设，， 设方程的两根为， 则， 在上有一个正根，设为， 在上，，函数单调递增， 在上，，函数单调递减， 所以存在一个极大值点，A错误； 令，即， 函数的零点即为与的交点， 如图所示： 函数图像与轴的交点为， 当时，与有两个不同的交点，即存在两个零点，B正确． 当时，不妨取，则， 令得， 在上，，函数单调递增， 在上，，函数单调递减， 所以， 所以无零点，C错误； 若有两个零点，假设，则有 即 两式相减得：， ， ，， 所以，即，D正确 【拓展提升】 练1-1(2023·广东省广州市月考) 已知为上的可导函数，当时，，则关于的函数的零点个数为(    ) A. B. C. D. 解：令，得， 即，即零点满足此等式， 不妨设，则． 当时，， 当时，， 即当时，，即，此时函数单调递增， 当时，，即，此时函数单调递减， 当时，函数取得极小值，同时也是最小值， ，无解，即无解， 即函数的零点个数为个． 故选：． 练1-2(2023·北京市模拟) 已知函数． Ⅰ若在处的切线与轴平行，求； Ⅱ已知在上的最大值不小于，求的取值范围； Ⅲ写出所有可能的零点个数及相应的的取值范围．请直接写出结论 解：Ⅰ， 所以， 由题意可得，，则， 又，此时切线与轴不重合，符合题意． Ⅱ由题意可得，在上有解，显然不是解， 故在上有解， 设，，则， 设，则当时，， 所以在上单调递减， 所以当时，， 故当时，， 所以在上单调递增， 所以当时，，故， 故的取值范围为． Ⅲ原题转化为与的交点个数， 令，则， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，， 如图所示， 当时，函数的零点个数为； 当时，函数的零点个数为； 当时，函数的零点个数为； 当时，函数的零点个数为．  探究二 已知零点个数求参 【方法储备】 利用函数零点的情况求参数范围的方法： 1.分离参数法：分离之后函数无参数,则可得到函数的图象,然后上下移动参数的值,观察直线与函数图象交点个数即可. 2.隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个为容易求导的不含参函数，另一个为图象是一条直线的含参函数，观察它们图象的变化趋势,找到临界的位置,易求得参数的取值范围,使得运算简化. 如在上有两个零点，即函数的图象有2个交点问题. 3.直接构造法：若研究的函数均比较复杂,故直接研究函数, 对参数进行分类讨论，判断函数单调性，利用零点存在定理，判断零点个数，从而求出参数的取值范围. 【典例精讲】  例3.(2023·福建省福州市模拟) 已知函数为自然对数的底数在上有两个零点则的范围是(    ) A. B. C. D. 解：由得， 当时，方程不成立，即，则， 设，且， 则， 且，由得， 当时，，函数为增函数， 当或时，，函数为减函数， 则当时函数取得极小值，极小值为， 当时，，且单调递减，作出函数的图象如图： 要使有两个不同的根，则即可， 即实数的取值范围是， 方法：由得， 设，， ，当时，，则为增函数， 设与相切时的切点为，切线斜率， 则切线方程为，当切线过时，， 即，即，得或舍，则切线斜率， 要使与在上有两个不同的交点，则， 即实数的取值范围是． 故选：． 例4. (2023·北京市市辖区模拟) 已知函数． 当时，求曲线的斜率为的切线方程； 若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围． 解：当时，， 所以． 令，解得． 因为，所以切点坐标为． 故切线方程为． 因为， 所以． 令，解得． 当时，由，得， 所以，则在定义域上是增函数．