提高专题4 导数与不等式的恒成立或有解问题 专题讲义-2024届高三数学二轮复习

【二轮复习—函数与导数】 提高专题4 导数与不等式的恒成立或有解问题 【方法储备】探究一 函数最值法 函数最值法的思路： 1.对于含参不等式的恒成立问题，将不等式朝着有利于通过导数判断函数单调性的方向变形,整理成一侧为常数的形式； 2.根据题目的全称量词或存在量词，将问题转化为函数最值与常数的关系,这是处理不等式问题的通法. 【典例精讲】 例1.(2023·山东省高考模拟卷二) 已知函数，，用表示，中的最大值，设若在上恒成立，则实数的取值范围为          ． 解：当时，； 时，， 所以在必成立， 问题转化为在恒成立， 由恒成立， 可得在恒成立， 设，，可得， 由时，，递增，时，，递减， 可得处，取得极大值，且为最大值， 则， 故，即的取值范围是． 故答案为：． 例2.(2023·安徽省合肥市期末) 已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 (    ) A. B. C. D. 解：，，则， 若函数有两个不同的极值点，， 则方程有个不相等的正实根，故，解得：， 而 ， 令，，则， 故在递增，故，故． 故选：． 【拓展提升】 练1-1(2023·天津市市辖区月考) 设函数，不等式对恒成立，则实数的最大值为(    ) A. B. C. D. 解：因为  ，所以  ，所以  为上的奇函数． 因为  ，所以  在上单调递增． 不等式  可转化为  ， 所以  ，即  对  恒成立． 令  ，则  ， 令  ，则  ． 当  时，  ，  在  上单调递增； 当  时，  ，  在  上单调递减． 所以  ，即  ， 所以  ，且当  时，  取最小值， 故  ，即实数的最大值为． 故选：． 练1-2(2023·江苏省南京市期中) 已知函数． 若，求的单调区间； 若对于任意，恒成立，求的最小值． 解：因为，所以，， 令，得． 当时，；当时．． 故的单调递增区间是，单调递减区间是． ， 因为，，又，所以，则． 令，则在上单调递增． 因为当时，，所以． 因为，所以，使得． 且当时，，则； 当时，，则． 所以在上单调递增，在上单调递减， 故． 由，得，． 由，得，即． 结合，得，所以． 令，则， 所以在上单调递增，所以，即． 故的最小值为．  探究二 放缩法 【方法储备】 切线放缩法的思路： 一些含参不等式中,将指数函数、对数函数综合起来考查,尤其是与有关的超越函数问题,若直接求导找零点(多数情况下是隐零点)过程烦琐, 此时若能巧妙运用一些“切线不等式”进行放缩,将复杂的超越函数转化为简单函数(以直代曲),起到化繁为简、化难为易的作用. 2.两个重要的“切线不等式”: (,当且仅当时等号成立)； (,当且仅当x=1时等号成立),这两个不等式是“切线”放缩法的基础. 【典例精讲】  例3. (2023·云南省昆明市联考) 已知函数，满足恒成立的最大整数的值为          ． 解：设函数，定义域为：，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以，即，所以有， 设函数，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以，即，所以有 所以可以得到：，， 所以要使恒成立的一个充分条件是：， 得到而当时， ，， 所以能够取到的最大整数为． 故答案为： 【拓展提升】 练2-1(2023·湖南省长沙市月考) 已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数的取值范围是___． 解：设，则， 故，则， 又因为，即， 所以，，， 因为， 所以 在上恒成立， 其中， 理由如下：构造， 则，令  得：， 当  得：， 当 得：， 故在处取的极小值，也是最小值， ，从而得证． 故，故， 实数的取值范围为， 故答案为：． 练2-2(2023·河北省衡水市模拟) 已知函数． 若，求曲线在点处的切线方程； 若对任意恒成立，求的取值范围． 解：当 时，  ， 则 ，所以， 又， 所以曲线 在点处的切线方程为； ，则 ， 令，则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 则，即， 当时，，则， 又，所以， 所以，则，      所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增， 所以， ①当，即时，，则在区间上单调递增， 所以，符合题意；    ②当，即时， ， 令 ， 则 ， 所以在区间上单调递增， 则，故， 又，所以，使得 ， 所以当时，，则在区间上单调递减， 此时，不符合题意， 综上，实数的取值范围为     【方法储备】探究三 必要性“探路”法 必要性探路法的思路： 1.探究必要条件，缩小参数范围：在给定的范围内取特殊值，然后由不等式成立求出参数的取值范围，该取值范围即为不等式恒成立的一个必要条件，接下来探究其充分性. 选择的特殊值可以为端点值、极值点、不等式公共取等条件、