提高专题3 导数与不等式的证明问题 专题讲义-2024届高三数学二轮复习

【二轮复习—函数与导数】 提高专题3 导数与不等式的证明问题 【方法储备】探究一 单变量的不等式证明 思路一：利用单调性证明不等式在区间上成立 1.构造函数； 2.若,则需证明在区间上单调递增；,则需证明在区间上单调递减； 思路二：利用最值证明单变量不等式 1.作差或变形，构造函数，转化为证明；判断函数的单调性，求最值. 2.凸凹反转：对不等式进行变形得到,使不等号两侧的对应函数呈现凹凸反转的特点；问题可转化为证明. 提醒：凹凸反转的分离的原则，常见的不等式是由指数、对数和多项式函数构成， 若构造差值函数不易求出导函数零点时，可以考虑指、对分离，即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，然后利用导数求函数的最值. 思路三：利用放缩法证明不等式 适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论，如 ⑴，当且仅当时取等号； ⑵，当且仅当时取等号； ⑶当时，, 当且仅当时取等号； ⑷当时，, 当且仅当时取等号； ⑸，当且仅当时取等号； ⑹当时，，当且仅当时取等号．　 思路四：利用分析法，通过不等式的等价转换，证明新的不等式成立. 【典例精讲】 例1.(2023·辽宁省大连市模拟) 非零实数，满足：证明不等式：． 证明不等式：． 证明：显然 且  且  ， 原不等式  ，  ． 令 且  ， 则  ，令  ， 则  ， 当  时，  在  递增， ，  时，  在  递减，  ，  在  上递减，在  上递减，  在  时，  ，在  时，  ． 即时，， 当时，，   ．   ，  ， 原不等式等价为  ， 即证  ， 在中，令  ，则  ， 在中，令  ，则  ，  ． 例2.(2023·湖南省长沙市联考) 已知函数． 若曲线在处的切线的斜率为，求的值； 若，求证：当时，的图像恒在轴上方． 解：函数的导数为， 曲线在处的切线的斜率为， ，； 证明：由得， 令，则， ①当时，，单调递增，， 即单调递增，，满足题意； ②当时，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， ， ，，即， 单调递增，，满足题意， 综上可得，当且时的图像恒在轴上方． 【拓展提升】 练1-1(2023·安徽省六安市月考) 已知函数的图象在处的切线与直线垂直． 求的值 证明：． 解：函数的定义域为， ， 则由题意知的图像在处的切线的斜率，所以． 证明：要证明， 即证明，， 即证明，． 令， 则． 当时，当时，． 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以． 因为在上为减函数， 所以，所以， 所以．  练1-2(2023·广东省佛山市月考) 已知函数． 讨论的极值； 当时，证明：． 解：由函数  ， 可得  ， 当  时，可得  ，解得  ，即函数的定义域为  ， 令  ，解得  ， 当  时，  ，  单调递减； 当  时，  ，  单调递增， 所以当  时，函数  取得极小值  ； 当  时，可得  ，解得  ，即函数的定义域为  ， 令  ，解得  ， 当  时，  ，  单调递减； 当  时，  ，  单调递增， 所以当  时，函数  取得极小值  ， 综上可得，函数  的极小值为  ，无极大值． 证明：因为  ，所以  ，解得  ，即函数的定义域为  ， 令  ，可得  ， 所以  在  单调递增， 所以当时，  ，即 ， ， 要证不等式  ， 只需证明  ， 又由函数  ，可得  ， 当  时，  ，  单调递增； 当  时，  ，  单调递减， 所以  ，即  ， 即  ，当且仅当  时，等号成立， 所以，当  时，  ， 只需证明：  ，即  ， 即  ，即  ， 令  ，可得  ， 设  ，可得  ，令  ，可得  ， 当  时，  ，  单调递增； 当  时，  ，  单调递减， 所以  ，所以  ，所以  ， 当且仅当  时，等号成立， 又由以上不等式的等号不能同时成立，所以  ． 探究二 含双变量的不等式证明 【方法储备】 思路一：整体换元 对于齐次式往往可将双变量整体换元，化为一元不等式． 破解含双变量（参）不等式的证明的关键. 思路二：转化为单参不等式 由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式； 思路三：利用对称性构造函数 若双变量的函数不等式具有对称性，并且可以将两个变量分离开，分离之后的函数结构具有相似性，从而构造函数利用单调性证明. 【典例精讲】 例3.(2023·浙江省杭州市联考) 已知函数，． 讨论的单调性； 若存在，使得，证明：． 解：由题知 ，  当  时，， 当时，，  所以的单调增区间为  ，  ，单调减区间为． 由易知  ，  先证明， 证明如下：  要证明， 即证  ， 即证， 由于，即证， 构造函数  ，， 则 ，  所以在上单调递