提高专题2 利用导数探求参数的范围问题 专题讲义-2024届高三数学二轮复习

【二轮复习—函数与导数】 提高专题2 利用导数探求参数的范围问题 探究一 与单调性有关的参数问题 【方法储备】 考点一：函数在某个区间上单调求参数的范围 1.数形结合：对于基本初等函数、分段函数，可结合函数图象列不等式，求参数的取值范围； 2.借助导数：转化为导函数在这个区间上恒大于等于0或者恒小于等于0，借助不等式恒成立的解法即可求出参数的范围. 考点二：含参分类讨论求函数单调性区间 讨论的角度：①讨论最高次幂的系数是否为0；②讨论导函数是否有变号零点；③若导函数有变号零点，讨论变化零点是否在函数定义域或指定区间内；④讨论导函数的变号零点之间的大小关系． 【典例精讲】 例1.(2023·江西省南昌市月考) 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 解：若函数在区间上单调递增， 则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令， 当且仅当时等号成立， 故当时，取最小值， 故， 故选B． 例2.(2023·湖南省长沙市月考) 已知函数 若函数在上单调递减，求的取值范围； 讨论函数的单调性． 解：函数在上单调递减，则等价于 对于恒成立，即 记，，则， 由可得，所以当即时，，      故； 的定义域为，   ， 若，当时，  当时， 则在； 若，当时，  当时，  则在； 若，当时，则在； 若，当时，  当时；  则在．  【拓展提升】 练1-1(2023·湖北省黄石市模拟) 已知函数，，为常数．若对于任意，，且，都有，则实数的取值范围是_______． 解：对于任意，且，都有， 即， 令，即， 只需在单调递增即可，当时，，图象恒过点， 当时，， 当时，， 要使在递增，则当时，的对称轴，即， 当时，的对称轴，即， 故． 故答案为： 练1-2(2023·福建省福州市月考) 已知函数． 讨论的单调性； 当时，方程有唯一的实数解，求实数的取值范围． 解：， 当，即时，， 令，解得：，在递增， 令，解得：，在递减， 当时，， 令，解得：或， 在，递增， 令，解得：，在的递减； 综上：时，在递减，在递增， 时，在，递增，在的递减； 当时，方程可化为， 令， 则， ①当时，，方程无实数根， ②当时，，在递增， 令且，，则， ，， ， 又，故， 又， 故当时，方程有唯一实数根； ③当时，令，则， 当时，，在递增， ，， 在上有且只有个零点，设为，则， 故当时，，，递减， 当时，，，递增， ， 令，则， 在上递减，且， 若，则，，此时方程有唯一实数根， 令在递增，且， 当时，，， 故，故方程无实数根， 当时，，且， 令且， 则， 又， 故方程有个不同的实数根，不满足题意， 综上：当或时，方程有唯一实数根．  探究二 与极值、最值有关的参数问题 【方法储备】 考点一：已知极值（点）求参数 已知函数的极值求参数，往往是通过列方程来求解： 1.求参数的值：①导函数在极值点处的函数值等于0；②极值也是函数值，函数在极值点处的函数值等于极值； 2.验证：极值点都是导函数方程的解，但导函数方程的解不一定是极值点，要使导函数方程的解是极值点，必须满足函数在这个解左右两边的单调性正好相反，因此求出参数后，需带入原函数验证. 考点二：已知极值点个数求参 转化为已知导函数的变号零点个数求参，即求导后讨论导函数的零点个数来求解. 考点三：已知函数的最值求参 一般先求出函数在给定区间上的最值（含参数），根据最值列方程组或不等式组求参数的范围. 不等式恒成立问题，利用参变分离法求参数范围时，要构造新函数求最值从而求出参数的范围. 【典例精讲】  例3.(2023·吉林省长春市模拟) 若函数在处有极小值，则的值为          ． 解：因为，所以， 又因为函数在处有极小值， 所以，解得或， 当时，， 所以时，；时，， 所以函数在处取得极小值； 当时，， 所以时，；时，， 所以函数在处取得极大值，不合题意，舍去． 综上可得． 故答案为：． 例4. (2023·浙江省嘉兴市模拟) 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是          ． 解：， 若函数有两个极值点，即有两个不同实根， 即有两不同实根，令，则和在上有个交点， 又， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故，而时，恒成立， 所以， 故答案为： ． 例5. (2023·江苏省南京市月考) 已知函数 ． 当时，求函数的单调递增区间 若函数在的最小值为，求的最大值． 解：当时，， ， 函数和都为增函数且有共同的零点， 所以恒成立， 即的单调递增区间为  当时，， 则在取得最小值，符合题意； 当时，， 因为最小值为，所以得，即； 当时，由可知单调递增，则当时无最小值，不合题意； 当时，， 则有，不合题意； 综上可得，的最大值 ． 【拓展提升