2024届高三数学二轮专题复习利用导数解决恒成立和有解、存在性问题

2024届高三二轮专题复习 利用导数解决恒成立和有解、存在性问题 1、 本专题解题策略总结 恒成立问题与有解问题是高考数学的重要知识,其中不等式恒成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等知识相交汇,综合考查学生分析问题、解决问题的能力,一般作为压轴题出现,难度略大. 利用导数研究恒成立与能成立问题的常用的方法有：一种先利用综合法，结合导函数的零点之间的大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另外一种，直接通过导函数的式子，解出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数. （1） 恒成立问题中求参数取值范围的基本步骤 (1)将参数与变量分离,化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式. (2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值. (3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min,得到λ的取值范围. 【提分秘籍】 ①若)对恒成立，则只需； ②若对恒成立，则只需． ③，使得能成立； ④，使得能成立． （2） 等价转化法解决恒成立问题的策略 (1)遇到“f(x)≥g(x)”型的不等式恒成立问题时,一般采用作差法,构造“左减右”的函数h(x)=f(x)-g(x)或“右减左”的函数u(x)=g(x)-f(x),进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0; (2)将比较法的思想融入函数中,转化为求解函数最值的问题,适用范围较广,但是往往需要对参数进行分类讨论. （3） 不等式能成立问题的解题关键点 典例 (2023·辽宁省实验中学5月模拟)已知函数,若存在实数使得不等式2>成立，则的取值范围为（ ） B.(,3] C. D. （4） 含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决,常见的转化有: (1)∀x1∈M,∃x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min; (2)∀x1∈M,∀x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max; (3)∃x1∈M,∃x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min; (4)∃x1∈M,∀x2∈N,f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max. （5） 双变量恒成立与能成立问题解题策略 1．最值定位法解双变量不等式恒成立问题的思路策略 (1)用最值定位法解双变量不等式恒成立问题是指通过不等式两端的最值进行定位，转化为不等式两端函数的最值之间的不等式，列出参数所满足的不等式，从而求解参数的取值范围． (2)有关两个函数在各自指定范围内的不等式恒成立问题，这里两个函数在指定范围内的自变量是没有关联的，这类不等式的恒成立问题就应该通过最值进行定位． 2．常见的双变量恒成立能成立问题的类型 (1)对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)max．(如图1) (2)若存在x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2)min．(如图2) (3)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min．(如图3) (4)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2)max．(如图4) (5)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2)max．(如图4) (6)若存在x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2)⇔f(x)的值域与g(x)的值域的交集非空．(如图5) 最值定位法解决双参不等式问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 2、 本专题解法归纳 （1） 命题角度1单变量不等式恒成立问题 题型一：分离变量+最值法（分离参数法或构造函数法） 【典例分析】 【例题1】（2023·全国·高三专题练习）若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【例题2】(2023-重庆西南大学附中5月模拟改编)已知函数,若对任意的恒成立,求实数的取值范围. 【例题3】（2023·浙江·镇海中学高二期中）已知函数. (1)若在上恒成立,求实数的取值范围; (2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围. 【例题4】(2023·成都七中5月质检)已知函数 若,求函数的单调区间.(2)若在上恒成立，求的取值范围. 方法提炼：求解含参不等式恒成立问题的关键是过“双关” 转化关：通过分离参数法，先转化为对任意}为定义域恒成立，再转化为或 最值关：求函数在区间