2024年中考数学一轮复习考点精讲学案 三角形的内心和外心

三角形的内心和外心 知识清单 知识点1 内心、外心的定义及性质 外接圆 内切圆 图形 定义 经过三角形的三个顶点的圆 与三角形各边都相切的圆 圆心 圆心是三角形的外心,三条边垂直平分线的交点 圆心是三角形的内心,三个内角的角平分线的交点 性质 三角形的外心到① 三角形的内心到② 角度关系 ∠BOC=2∠A,∠OBC=③ ∠BOC=90°+∠A 判断方法 从三角形中任意选两条边,作它们的垂直平分线,其交点即为三角形的外心 从三角形中任意选两个角,作它们的角平分线,其交点即为三角形的内心 知识点2 三角形外接圆、内切圆的作法 外接圆 内切圆 知识点3 三角形的外接圆与内切圆半径 知识点4 三角形外心的位置 锐角三角形的外心在三角形内部,钝角三角形的外心在三角形外部,直角三角形的外心在斜边的中点处 【参考答案】 ①三个顶点的距离相等　②三条边的距离相等　③∠OCB 自我诊断 1.如图,在4×4的网格图中,A,B,C是三个格点,其中每个小正方形的边长为1,△ABC的外心可能是 ( ) A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点 2.如图,☉O是△ABC的外接圆,若∠C=25°,则∠BAO的度数为 ( ) A.25° B.50° C.60° D.65° 3.(北师九下P93习题3,8第2题改编)如图,点I是△ABC的内心,若∠AIB=125°,则∠C等于 ( ) A.65° B.70° C.75° D.80° 4.(冀教九下P14第2题改编)如图,☉O是△ABC的内切圆,若△ABC的周长为18,面积为9,则☉O的半径是 ( ) A.1 B. C.1.5 D.2 【参考答案】 1.D　2.D　3.B　4.A 【真题精粹】 考向 三角形的内心和外心 1.根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是( ) A　　　　　　　B C　　　　　　　D 2.有一题目:“已知点O为△ABC的外心,∠BOC=130°,求∠A.”嘉嘉的解答为:画△ABC以及它的外接圆O,连接OB,OC,如图所示.由∠BOC=2∠A=130°,得∠A=65°.而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周全,∠A还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是 ( ) A.淇淇说的对,且∠A的另一个值是115° B.淇淇说的不对,∠A就得65° C.嘉嘉求的结果不对,∠A应得50° D.两人都不对,∠A应有3个不同值 3.如图,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与I重合,则图中阴影部分的周长为 ( ) A.4.5 B.4 C.3 D.2 4.(2022·河北16题2分)题目:“如图,∠B=45°,BC=2,在射线BM上取一点A,设AC=d,若对于d的一个数值,只能作出唯一一个△ABC,求d的取值范围.”对于其 答案,甲答:d≥2.乙答:d=1.6.丙答:d=.则正确的是 ( ) A.只有甲答的对 B.甲、丙答案合在一起才完整 C.甲、乙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整 【参考答案】 1.C　2.A　3.B　4.B 【核心突破】 题型 内心与外心相关的计算 　　例 如图,在△ABC中,AC=8,∠A=30°,∠CBA=50°,P为AB边上任意一点(P不与点B,A重合),I为△BPC的内心,则 (1)CP的最小值为 .  (2)∠CIB的取值范围是 .  核心方法 利用内心横向拓展,沟通相关知识 ·角平分线(出现相等的角) ·角平分线的性质(出现相等的垂线段) ·全等三角形(出现更多相等的角与相等的线段) ·“内心角”与内角关系∠BIC=90°+ ·过内心作一边平行线→两个等腰三角形→截得三角形周长=另两边之和 ·到三边距离相等均为内切圆半径r,S△ABC=,l=a+b+c ·m=,n=,p= 思维点拨: (1)由“垂线段最短”构造直角三角形,利用含有30°角的直角三角形性质求解. (2)由角平分线定义和三角形内角和定理,可得∠CIB=90°+∠BPC,故∠CIB的大小取决于∠BPC.由点P为AB边上任意一点(P不与点B,A重合)可知,30°<∠BPC<130°,据此计算∠CIB的取值范围. 【参考答案】 例　(1)4　(2)105°<∠CIB<155° 2 学科网（北京）股份有限公司 $$