山东省青岛第二中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题

青岛二中 2023—2024 学年第一学期期末考试 高二试题（数学） 考试时间：120分钟 满分150分 命题人：董天龙 周贝妮 张世栋 审核人：董天龙 注意事项： 1． 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2．请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 3．圆与圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 5．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l：与椭圆C：相切于点P，椭圆C的焦点为，，由光学性质可知（如图），则的角平分线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6.设，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列满足，则称数列为牛顿数列.若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数n的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 8.函数的导函数为,对,都有成立,若,则不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9．直线，圆，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆必有两个交点 C．直线与圆的相交弦长的最大值为 D．当时，圆上存在3个点到直线的距离等于1 10．在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 11．设数列的前项和为，且，则（    ） A．数列是等比数列 B． C． D．的前项和为 12.已知函数,,则下列结论正确的是（       ） A．对任意的,存在,使得 B．若是的极值点,则在上单调递减 C．函数的最大值为 D．若有两个零点,则 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．记等差数列的前项和为，已知，，则当取最大值时，的值为 ． 14.已知函数,,则实数的最大值为___________. 15．设椭圆双曲线共焦点，，离心率分别为，，其中．设曲线，在第一、三象限的交点分别为点，，若四边形为矩形，则 ． 16.若对任意的,且,都有成立,则实数m的最小值为___________. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和. 18．已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值. 19.设函数， (1)若，求在处的切线方程； (2)若是的极大值，求a的取值范围. 20．已知数列，若，且. (1)求证：是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求证：. 21．已知函数（e为自然对数的底数，）. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时， 22．已知点是圆：上一动点（为圆心），点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)，过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，直线为过点且与平行的直线，设与直线的交点为.证明：直线过定点. 参考答案： 1．A 【分析】由导数几何意义可得答案. 【详解】由题，，即切线斜率为1，则切线倾斜角为. 2．A 【分析】根据等差数列性质计算即可. 【详解】在等差数列中，因为， 所以， 所以. 3．B 【分析】求出两圆圆心距离即半径后，可得位置关系，由位置关系可得公切线条数. 【详解】由可知圆心为，半径， 由，即， 则圆心为，半径， 则两圆圆心距离为，，， 故，即两圆相交，故公切线条数为2条. 4．D 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的一条渐近线不妨取， 则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 5．A 【分析】先求得点坐标，然后求得的角平分线所在的直线的方程. 【详解】， 直