四川省成都市石室中学2023-2024学年高三上学期数学定时检测试题（二）

成都石室中学高2024届数学定时检测试题二答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，∴．故选C． 2．设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，，故选A． 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，．故选B． 4．已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由等差数列的性质可得：， ∴，则，故选C． 5．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】，故输出． 6．已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知，，，所以，由， 得，，解得，，因为，所以， 所以．故选C． 7．若是圆上任一点，则点到直线距离的最大值（ ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【解析】由题意得直线过定点．圆的圆心为，半径．由几何知识可得当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时，故，直线方程为，即． 所以圆心到直线的最大距离为． 故点到直线距离的最大值为．选B． 8．已知偶函数在单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵偶函数在单调递减，且， ∴函数在单调递增，且． 结合图象可得不等式等价于或， 即或，解得或． 故的取值范围为．选A． 9．某几何体的直观图如图所示，是的直径，垂直所在的平面，且，为上从出发绕圆心逆时针方向运动的一动点．若设弧的长为，的长度为关于的函数，则的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，设，则弧长，线段，， 作于当在半圆弧上运动时，，，， 即，由余弦函数的性质知当时，即运动到点时有最小值， 只有A选项适合，又由对称性知选A，故选A． 10．设双曲线的左、右焦点分别为，，，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知，，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令x=c代入双曲线的方程可得，由|F2Q|>|F2A|，可得，即为3>2=2(−)，即有①， 又恒成立，由双曲线的定义，可得c恒成立， 由，P，Q共线时，取得最小值，可得， 即有②，由e>1，结合①②可得，e的范围是．故选：B． 二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分． 11．某四棱锥的三视图如图所示（单位：），则该几何体的侧面积是___． 【答案】27 【解析】由三视图得到几何体如图： 侧面积为；故答案为：27． 12．在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上，且，，且，则=_________． 【答案】 【解析】在等腰梯形中，，， ， 在等腰梯形中，，，，． ，解得． 因为在线段上，所以，所以．故答案为：． 13．设二次函数的导函数为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值__________． 【答案】 【解析】∵，∴， ∵对任意，不等式恒成立， ∴，简可得， ∴且，即， ∴，∴，∴， ∴； 令，则， ∴当时，，当且仅当时取等号； 当时，，综上所述，的最大值为，故答案为． 三、解答题：共48分． 14．已知在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为． （1）求直线的直角坐标方程和椭圆的参数方程； （2）设为椭圆上任意一点，求的最大值． 【答案】（1）直线的直角坐标方程为，椭圆的参数方程为，（为参数）；（2）9． 【解析】（1）由，得， 将，代入，得直线的直角坐标方程为．·········3分 椭圆的参数方程为，（为参数）．········6分 （2）因为点在椭圆上，所以设， 则， 当且仅当时，取等号，所以．·········12分 15．如图，已知与分别是边长为1与2的正三角形，，四边形为直角梯形，且，，点为的重心，为中点，平面，为线段上靠近点的三等分点． （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，试求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）解：在中，连延长交于，因为点为的重心 所以，且为中点，又， 所以，所以；··········2分 又为中点，所以，又， 所以， 所以，，，四点共面，··········4分 又平面，平面， 所以平面．··········5分 （2）由题意，平面，所以，平面平面，且交线为， 因为，所以平面， 又四边形为直角梯形，，，所以，所以平面 因为，，所以平面平面， 又与分别是边长为1与2的正三角形， 故以为原点，为轴，为