拓展点之同构函数问题 讲义-2024届高三数学二轮复习

2024高考数学二轮复习 拓展点之同构函数问题 考点一　双变量同构问题 解决方法　含有地位相等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题． 例1　(1)(多选)已知0<x<y<π，且eysin x＝exsin y，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是(　　) A．y< B．x< C．cos x＋cos y>0 D．sin x>sin y (2)若实数a，b满足4a＋log3a＝8b＋3log27b，则(　　) A．a< B．a> C．a>b3 D．a<b3 练1　(1)若对于0<x1<x2<a，都有x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2成立，则a的最大值为(　　) A. B．1 C．e D．2e (2)已知实数x，y满足eyln x＝yex，y>1，则x，y的大小关系为(　　) A．y≥x B．y<x C．y>x D．y≤x 考点二　指对同构问题 考向1　指对同构与恒成立问题 解题方法　指对同构的常用形式 (1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)＝xex； ②同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)＝xln x； ③取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋ln(b>1)，构造函数f(x)＝x＋ln x. (2)商型：≤，一般有三种同构方式： ①同左构造形式：≤，构造函数f(x)＝； ②同右构造形式：≤，构造函数f(x)＝； ③取对构造形式：a－ln a≤ln b－ln(ln b)(b>1)，构造函数f(x)＝x－ln x. (3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式： ①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)＝ex±x； ②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)＝x±ln x. 例2　已知函数f(x)＝ex＋(1－a)x－ln ax(a>0)． (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若对于任意的x>0，有f(x)≥0，求正数a的取值范围． 考向2　指对同构与证明不等式 例3　已知函数f(x)＝xln x. (1)求f(x)的最小值； (2)当x>2时，证明：ex>ln(x－1)． 练2　已知a>0，函数f(x)＝xex－ax. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程； (2)若f(x)≥ln x－x＋1恒成立，求实数a的取值范围． 课时训练 1．已知α，β∈R，则“α＋β>0”是“α＋β>cos α－cos β”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知x∈N，y∈N，x<y，则方程xy＝yx的解的组数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．无穷多个 3．若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 4．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<bln b，则(　　) A．ab>e B．b>ea C．ab<e D．b<ea 5．(多选)已知a>b>1，若ea－2a＝aeb＋1－bea，则(　　) A．ln(a－b)<0 B．ln(a＋b)>1 C．3a＋3－b>2 D．3a－1<3b 6．若f(x)＝xex－a(x＋ln x)有两个零点，则实数a的取值范围是________． 7．(2023·邵阳模拟)已知函数f(x)＝ex＋1－＋1，g(x)＝＋2. (1)讨论函数g(x)在定义域内的单调性； (2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围． 8．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝ex－1ln x，g(x)＝x2－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当x∈(0,2)时，f(x)≤g(x)． 教师版 考点一　双变量同构问题 规律方法　含有地位相等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题． 例1　(1)(多选)已知0<x<y<π，且eysin x＝exsin y，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是(　　) A．y< B．x< C．cos x＋cos y>0 D．sin x>sin y 答案　BC 解析　因为eysin x＝exsin y，所以＝，令g(t)＝，0<t<π，所以g(x)＝g(y)，则g′(t)＝＝，由g′(t)>0有t∈， 由g′(t)<0有t∈，所以g