不等式恒成立或有解问题考点突破练19-2024届高三数学二轮专题

考点突破练19　不等式恒成立或有解问题 1.(2023江苏南京模拟)已知函数f(x)=4ln x-ax+(a≥0). (1)当a=时,求f(x)的极值; (2)当a≥1时,设g(x)=2ex-4x+2a,若存在x1,x2∈,使得f(x1)>g(x2)成立,求实数a的取值范围.(e为自然对数的底数,e=2.718 28…) 2.(2020新高考Ⅰ,21)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a. (1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若f(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围. 3.(2023湖南郴州三模)已知函数f(x)=x2-ax+1,g(x)=ln x+a(a∈R). (1)若a=1,f(x)>g(x)在区间(0,t)上恒成立,求实数t的取值范围; (2)若函数f(x)和g(x)有公切线,求实数a的取值范围. 4.(2023河北石家庄三模)若定义在区间I上的函数y=f(x),其图象上存在不同两点处的切线相互平行,则称函数y=f(x)为区间I上的“曲折函数”,现已知函数f(x)=2a2ln x+x2(a>0). (1)证明:y=f(x)是(0,+∞)上的“曲折函数”; (2)设0<x0<a,证明:∃xm∈(x0,a),使得对于∀x∈(xm,a),均有(a-x0)f'(x)-f(a)+f(x0)<0. 考点突破练19　不等式恒成立或有解问题 1.解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),当a=时,f(x)=4ln x-,∴f'(x)==-, 令f'(x)>0,得1<x<7,令f'(x)<0,可得0<x<1或x>7,∴函数f(x)的单调递减区间为(0,1),(7,+∞),单调递增区间为(1,7).∴当x=1时,函数取得极小值f(1)=3; 当x=7时,函数取得极大值f(7)=4ln 7-3. (2)f'(x)=(x>0),令h(x)=-ax2+4x-(a+3), 若a≥1,则Δ=16-4a2-12a=-4(a-1)(a+4)≤0,当且仅当a=1时,等号成立,∴h(x)≤0,即f'(x)≤0且不恒为零, ∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减, ∴当a≥1时,f(x)在上单调递减, ∴f(x)在上的最大值为f=-4ln 2+a+6.g'(x)=2ex-4,令g'(x)=0,得x=ln 2, ∴当x∈时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 当x∈(ln 2,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增, ∴g(x)在上的最小值为g(ln 2)=4-4ln 2+2a. 若存在x1,x2∈,使得f(x1)>g(x2)成立,则f(x)max>g(x)min成立,∴-4ln 2+a+6>4-4ln 2+2a,解得a<4,又a≥1,∴实数a的取值范围为[1,4). 2.解 (1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,∴f'(x)=ex-, ∴f'(1)=e-1.∵f(1)=e+1,∴切点坐标为(1,1+e), ∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e-1=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2, ∴切线与两坐标轴交点坐标分别为(0,2),, ∴所求三角形面积为×2×. (2)(方法一)∵f(x)=aex-1-ln x+ln a,∴f'(x)=aex-1-,且a>0.设g(x)=f'(x),则g'(x)=aex-1+>0, ∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,即f'(x)在(0,+∞)上单调递增,当a=1时,f'(1)=0,∴f(x)min=f(1)=1,∴f(x)≥1成立.当a>1时,0<<1,∴<1, ∴f'f'(1)=a(-1)(a-1)<0,∴存在唯一x0>0,使得f'(x0)=a=0,即a,即ln a+x0-1=-ln x0,且当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,因此f(x)min=f(x0)=a-ln x0+ln a=+ln a+x0-1+ln a≥2ln a-1+2=2ln a+1>1,∴f(x)>1,∴f(x)≥1恒成立;当0<a<1时,f(1)=a+ln a<a<1, ∴f(1)<1,f(x)≥1不是恒成立. 综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞). (方法二)由题意知a>0,x>0,令aex-1=t, ∴ln a+x-1=ln t,∴ln a=ln t-x+1. ∴f(x)=aex-1-ln x+ln a=t-ln x+ln t-x+1. ∵f(x)≥1,即t-ln x+ln t-x+1≥1⇔t+ln t≥x+ln x,而y=x+ln x在(0,+∞)上单调递增,故t≥x,即aex-1≥x,分离参数后有a≥. 令g(x)=,∴g'(x)=. 当0<x