圆锥曲线中的最值、范围、求值与证明问题考点突破练13-2024届高三数学二轮专题

考点突破练13 圆锥曲线中的最值、范围、求值与证明问题 1.(2023全国甲,理20)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,且|AB|=4. (1)求p; (2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,=0,求△MNF面积的最小值. 2.(2023辽宁丹东一模)已知O为坐标原点,F1(-2,0),F2(2,0)分别为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为C的右支上一点,当PF2⊥x轴时,|OP|=. (1)求C的方程; (2)若点P异于C的右顶点A,点Q在直线x=上,AP∥OQ,M为AP的中点,直线OM与直线QF2的交点为N,求|NF1|的取值范围. 3.(2023山东青岛二模)已知O为坐标原点,双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率等于,点P是双曲线C在第一象限上的点,直线PF1与y轴的交点为Q,△PQF2的周长等于6a,|PF1|2-|PF2|2=24. (1)求C的方程; (2)过圆O:x2+y2=1上一点W(W不在坐标轴上)作C的两条切线l1,l2,对应的切点分别为A,B,证明:直线AB与椭圆D:+y2=1相切于点T,且|WT|·|AB|=|WA|·|WB|. 4.(2023山东淄博二模)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容,例如:用一张圆形纸片,按如下步骤折纸(如图). 步骤1:设圆心是E,在圆内异于圆心处取一点,标记为F; 步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点F; 步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕; 步骤4:不断重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的图形是一个椭圆. 现取半径为4的圆形纸片,定点F到圆心E的距离为2,按上述方法折纸.以向量的方向为x轴正方向、线段EF中点为原点建立平面直角坐标系. (1)求折痕围成的椭圆Γ的标准方程; (2)已知点M是圆x2+y2=10上任意一点,过点M作椭圆Γ的两条切线,切点分别是B,C,求△MBC面积的最大值,并确定此时点M的坐标. 注:椭圆:=1(a>b>0)上任意一点P(x0,y0)处的切线方程是=1. 考点突破练13 圆锥曲线中的最值、范围、求值与证明问题 1.解 (1)联立整理得y2-4py+2p=0,则Δ=16p2-8p>0,又p>0,∴p>. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4p,y1y2=2p. |AB|=|y1-y2|==4, 解得p=-(舍)或p=2.∴p=2. (2)由(1)知抛物线C的方程为y2=4x,F(1,0).设M(x3,y3),N(x4,y4),lMN:x=my+n, 由得y2-4my-4n=0, 则Δ1=16m2+16n>0,y3+y4=4m,y3y4=-4n. =(x3-1)(x4-1)+y3y4 =(my3+n-1)(my4+n-1)+y3y4 =(m2+1)y3y4+m(n-1)(y3+y4)+(n-1)2 =-4m2n-4n+4m2n-4m2+n2-2n+1=0, ∴4m2=n2-6n+1≥0, 又Δ1=16m2+16n=4(n-1)2>0,∴n≠1,∴n≥3+2,或n≤3-2. ∴S△MNF=|FM|·|FN|=(x3+1)(x4+1) =(my3+n+1)(my4+n+1) ==n2-2n+1=(n-1)2,∴当n=3-2时,S△MNF=12-8为最小值. ∴△MNF面积的最小值为12-8. 2.解 (1)因为F2(2,0),所以a2+b2=4. 因为当PF2⊥x轴时,|OP|=,可知P(2,±3). 点P到两个焦点F1(-2,0),F2(2,0)的距离分别为3和5, 由双曲线定义得a==1,所以b2=3. 因此C的方程为x2-=1. (2)由题设可知直线PA的斜率k存在,且|k|>. 由OQ∥PA,及点Q在直线x=上,可得Q(k). 设PA:y=k(x-1),P(x1,y1). 由得(3-k2)x2+2k2x-k2-3=0. 这个关于x的方程的两根为x1,1. 因此x1=,y1=k(x1-1)=. 因为A(1,0),所以M(). 设N(x2,y2),则y2=x2,所以y2=x2. 由得(x2-1)2+=1. 由得x2=(x2=0舍去), 因为|k|>,所以<x2<2.因此|NF1|=∈(,4).即|NF1|的取值范围为(,4). 3.(1)解 由题意知,|PQ|+|QF2|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=6a, 又因为|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|2-|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=12a2=24, 所以a=.又因为e=,所以b=1, 所以C的方程为-y2=1. (2)证明 设W(x0,y0),A(