空间距离、折叠与探索性问题考点突破练8-2024届高三数学二轮专题

考点突破练8　空间距离、折叠与探索性问题 1.(2023广东湛江二模)如图1,在五边形ABCDE中,四边形ABCE为正方形,CD⊥DE,CD=DE,如图2,将△ABE沿BE折起,使得A至A1处,且A1B⊥DE. 图1 图2 (1)证明:DE⊥平面A1BE; (2)求平面CA1E与平面A1ED夹角的余弦值. 2.(2023广东揭阳模拟)如图所示的四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥AB,DC=2AD=2AB=2a,PA=PD,二面角P-AD-B的大小为135°,点P到底面ABCD的距离为. (1)过点P是否存在直线l,使直线l∥平面ABCD?若存在,作出该直线,并写出作法与理由;若不存在,请说明理由. (2)若=2,求点M到平面PAD的距离. 3.(2023湖南师大附中模拟)如图,在斜三棱柱ABC-DEF中,△ABC是边长为2的正三角形,BD=CD=,侧棱AD与底面ABC所成角为60°. (1)求三棱柱ABC-DEF的体积. (2)在线段DF(含端点)上是否存在点G,使得平面GBC与平面ABC的夹角为60°?若存在,请指出点G的位置;若不存在,请说明理由. 4.(2023山东青岛一模)如图,在Rt△PAB中,PA⊥AB,且PA=4,AB=2,将△PAB绕直角边PA旋转到△PAC处,得到圆锥的一部分,点D是底面圆弧BC(不含端点)上的一个动点. (1)是否存在点D,使得BC⊥PD?若存在,求出∠CAD的大小;若不存在,请说明理由. (2)当四棱锥P-ABDC体积最大时,求平面PCD与平面PBD夹角的余弦值. 5.(2023广东佛山二模)如图所示的一块木料中,底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E,F是PC,AD的中点. (1)若要经过点E和棱AB将木料锯开,在木料表面应该怎样画线,请说明理由并计算截面周长; (2)若要经过点B,E,F将木料锯开,在木料表面应该怎样画线,请说明理由. 6.(2023湖南长邵中学模拟)如图1,已知△AB'C是边长为2的等边三角形,D是边AB'的中点,DH⊥B'C,如图2,将△B'DH沿边DH翻折至△BDH. 图1 图2 (1)在线段BC上是否存在点F,使得AF∥平面BDH?若存在,求的值;若不存在,请说明理由. (2)若平面BHC与平面BDA夹角的余弦值为,求三棱锥B-DCH的体积. 考点突破练8　空间距离、折叠与探索性问题 1.(1)证明 由题意可知∠BEC=∠CED=,所以∠BED=,故DE⊥BE.因为A1B⊥DE,A1B∩BE=B,A1B,BE⊂平面A1BE,所以DE⊥平面A1BE. (2)解 取BE的中点O,连接A1O,CO,由等腰三角形的性质可知,A1O⊥BE,CO⊥BE. 由BE=CE,CE=CD,可知BE=2CD,OE=CD.由DE⊥BE,且CD⊥DE,可知OE∥CD,四边形OCDE为平行四边形,则CO∥DE,故CO⊥平面A1BE. 令BE=2,以O为坐标原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,1),E(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,1,0). =(1,0,1),=(1,1,0),=(0,1,0),=(1,0,-1).设平面A1EC的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=-1,z=-1,得n=(1,-1,-1). 因为=0,=0, 所以平面A1ED的一个法向量为m==(1,0,-1),所以cos<m,n>=, 故平面CA1E与平面A1ED夹角的余弦值为. 2.解 (1)过点P存在直线l,满足直线l∥平面ABCD.理由如下: 过点P在平面PAD内作直线l平行于直线AD. 因为l∥AD,l⊄平面ABCD,AD⊂平面ABCD, 所以l∥平面ABCD. (2)取线段AD的中点为O,线段BC的中点为E,连接OE,OP,因为四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,所以OE∥AB.又AD⊥AB,所以AD⊥OE.因为PA=PD,所以PO⊥AD.又PO∩OE=O,PO,OE⊂平面POE,所以AD⊥平面POE. 在平面POE内过点O作直线ON⊥OE,交直线PE于点N,则直线OA,OE,ON两两垂直.以O为原点,OA,OE,ON所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 过点P作PF∥NO,交直线OE于点F. 因为ON⊥OA,ON⊥OE,OA,OE⊂平面ABCD,OA∩OE=O,所以ON⊥平面ABCD,故PF⊥平面ABCD. 又点P到底面ABCD的距离为,所以PF=. 因为OE⊥AD,OP⊥AD,所以∠POE为二面角P-AD-B的平面角. 由已知可得∠POE=135°,所以∠POF=45°,所以OF=, 所以A(,0,0),D(-,0,0),P(