三角函数与解三角形考点突破练3-2024届高三数学二轮专题

考点突破练3　三角函数与解三角形 1.(2023安徽蚌埠三模)已知函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx-(ω>0). (1)若ω=1,求函数f(x)的最小正周期; (2)若y=f(x)的图象在区间(0,)内有且仅有一条对称轴,求f()的取值范围. 2.(2023福建福州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知. (1)证明:A=B; (2)若D为BC的中点,从①AD=4,②cos C=,③CD=2这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立. 3.(2023山东潍坊模拟)如图,P为半圆(AB为直径)上一动点,OA⊥OB,OA=,OB=1,记∠BAP=θ. (1)当θ=15°时,求PO的长; (2)当△APO周长最大时,求θ. 4.(2023湖南长沙模拟)如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足+tan B=. (1)求A; (2)在△ABC所在平面上存在点E,连接BE,CE,若EC=AC,∠ACE=∠A,∠EBC=30°,BC=2,求△ABC的面积. 5.某城建部门欲沿河边规划一个三角形区域建设市民公园.如图,MN为该城区内河段的一部分,现有两种设计方案,方案一的设计为△AMN区域,方案二的设计为△BMN区域,经测量,AM=AN=700米,BM=500米,BN=800米,∠A=∠B. (1)求MN的长度. (2)若市民公园建设每平方米的造价为80元,不考虑其他因素,要使费用较低,该选哪个方案?说明理由,并求出造价为多少?(参考数据:≈1.732) 6.(2023浙江湖州、衢州、丽水二模)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足-1=,且A≠C. (1)求证:B=2C; (2)已知BD是∠ABC的平分线,若a=4,求线段BD长度的取值范围. 考点突破练3　三角函数与解三角形 1.解 (1)f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx-sin 2ωx+sin 2ωx+cos 2ωx=sin(2ωx+). 由ω=1,得f(x)=sin(2x+),则T==π. (2)由x∈(0,),得2ωx+∈(ω+), 因为y=f(x)的图象在区间(0,)内有且仅有一条对称轴,所以ω+,解得<ω≤. 因为f()=sin(ω+),且ω+,所以≤sin(ω+)≤1,所以f()的取值范围是[,1]. 2.(1)证明 已知,由余弦定理可得,即. 又由正弦定理,得cos A=cos B. 因为A,B均为△ABC中内角,所以A=B. (2)解 在△ABC中,A=B,D为BC的中点,如图所示. ①②⇒③ 由(1)知,AC=BC, 则AC=2CD.在△ACD中,cos C=,解得CD=2. ①③⇒② 由(1)知,AC=BC,则AC=2CD=4,所以在△ACD中, cos C=. ②③⇒① 由(1)知,AC=BC,则AC=2CD=4.在△ACD中,由余弦定理,得AD2=AC2+CD2-2AC·CDcos C=16+4-2×4×2×=16,所以AD=4. 3.解 (1)在△ABO中,OA⊥OB,OA=,OB=1,则AB=2, ∴∠BAO=30°,∠ABO=60°,且O在以AB为直径的圆上, ∴∠APO=60°. 在△APO中,∠PAO=45°,OA=, 由正弦定理,得,解得OP=. (2)在△APO中,∠APO=60°,OA=, 由余弦定理,得OA2=PA2+PO2-2PA·POcos∠APO,即PA2+PO2-PA·PO=3, ∴(PA+PO)2-3PA·PO=3,∴3PA·PO=(PA+PO)2-3≤3()2,当且仅当PA=PO=时,等号成立, ∴(PA+PO)2≤12,∴PA+PO≤2. 故当PA=PO时,△APO周长最大,此时∠PAO=60°, ∴θ=60°-30°=30°. 4.解 (1)在△ABC中,由+tan B=, 得c=acos B-asin B. 由正弦定理,得sin C=sin Acos B-sin Asin B. 因为sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B), 因此sin(A+B)=sin Acos B-sin Asin B, 即cos Asin B=-sin Asin B, 而0°<A<180°,0°<B<180°,则sin B≠0, 故cos A=-sin A, 显然cos A≠0,则tan A=-,故A=120°. (2)令∠ABC=α,四边形内角和为360°,由(1)的结论知,E=90°-α.在△ABC中,由正弦定理得,, 则AC=sin α. 在△BCE中,,则EC=. 又EC=AC,则4sin α=,即2sin 2α=1, 得sin 2α=. 因为A=120°,A+α+∠ACB=180°,则0<α<60°,故2α=30°,