三角恒等变换与解三角形考点突破练2-2024届高三数学二轮专题

考点突破练2　三角恒等变换与解三角形 一、必备知识夯实练 1.(2023新高考Ⅱ,7)已知α为锐角,cos α=,则sin=(　　) A.　 B. 　C. 　D. 2.(2021全国甲,文8)在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC=(　　) A.1 B. C. D.3 3.(2023湖南长沙一模)若,则cos 2α的值为(　　) A.- B. C.- D. 4.(2023全国乙,文4)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=,则B=(　　) A. B. C. D. 5.(2023河南周口模拟)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2A+csin A=sin Asin B+bsin C,则该三角形的形状一定是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.锐角三角形 6.(2023江西九江模拟)在锐角三角形ABC中,AB=3,4cos Asin B=1,若BC在AB上的投影长等于△ABC的外接圆半径R,则R=(　　) A.4 B.2 C.1 D. 7.(多选题)(2023广东深圳龙华中学校考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,sin A=,cos C=,则下列结论正确的是(　　) A.cos A=± B.B= C.b= D.△ABC的面积为7 8.(2023江西宜春一模)如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=4,AD=CD=BC=2,现将梯形ABCD依次绕着B,C,D各点顺时针翻转,则在第一次绕着点B翻转的过程中,对角线BD扫过的平面区域面积为(　　) A.2π B.3π C.8π D.4π 9.(2023河北邢台模拟)如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度,AB=5 km,BC=8 km,CD=3 km,DA=5 km,且A,B,C,D四点共圆,则AC的长为　　　　 km.  10.(2023浙江绍兴高三期末)已知α∈(0,),tan α=,则sin α=　　　　　　　　　　.  11.(2020全国Ⅰ,理16)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=　　　　　.  二、关键能力提升练 12.(2023河南郑州二模)已知△ABC不为直角三角形,AB=,AC=2,且sin 2A-2cos 2A=2,则△ABC的面积为(　　) A.1 B. C.2 D.3 13.(2023全国甲,理11)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形,PC=PD=3,∠PCA=45°,则△PBC的面积为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 14.(2023河南郑州二模)假设二维空间中有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,余弦相似度为向量夹角的余弦值,记作cos(A,B),余弦距离为1-cos(A,B).已知P(sin α,cos α),Q(sin β,cos β),R(sin α,-cos α),若P,Q的余弦距离为,Q,R的余弦距离为,则tan αtan β=(　　) A.7 B. C.4 D. 15.(多选题)(2021新高考Ⅰ,10)已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则(　　) A.||=|| B.||=|| C. D. 16.(2023山东菏泽一模)设x,y均为非零实数,且满足=tan,则=　　　　　.  17.(2023河南五市二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且4cos A=sin B+sin C.若△ABC的面积S=,则a的最小值为　　　　　　.  三、核心素养创新练 18.如图是某所大学数学爱好者协会的会标,其内部是一个边长为1 cm的正五边形,外面一圈是五个全等的四边形,其中∠BAD=36°,∠BCD=108°,AB=AD,CB=CD,则四边形ABCD的周长为(　　)(sin 36°=,sin 72°=) A.5+ B.10- C.5+2 D.10-2 19.(2022全国甲,理16)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　　　　.  考点突破练2　三角恒等变换与解三角形 1.D　解析 由cos α=1-2sin2,得sin2(1-)==()2. 因为0<α<,所以0<, 所以sin>0,所以sin.故选D. 2.D　解析 设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·cos 120°,解得x=3或x=-5(舍).故选D. 3